Verificare se è corretto asintoto obliquo della funzione!
Verificare per favore se è corretta la retta dell'asintoto obliquo di questa funzione. Se c'è qualche errore scrivetelo pure, altrimenti se non ci sono errore..scrivete solamente "è corretto". Grazie in anticipo
Calcolare l'eventuale asintoto obliquo per \(\displaystyle x\rightarrow+\infty \) della funzione \(\displaystyle f(x)=\sqrt{\frac{2x^3+9x^2}{x+1}} \)
SVOLGIMENTO
\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow+\infty} \sqrt{\frac{2x^3+9x^2}{x+1}} =\lim_{x\rightarrow+\infty}x\sqrt{\frac{2+\frac{9}{x}}{1+\frac{1}{x}}} = +\infty \)
ok e la funzione potrebbe avere l'asintoto obliquo calcoliamo ora m e q
\(\displaystyle m=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{f(x)}{x}=\sqrt{2}\)
\(\displaystyle q=\lim_{x\rightarrow+\infty}(f(x)-mx) =\lim_{x\rightarrow+\infty}\left(\sqrt{\frac{2x^3+9x^2}{x+1}}-\sqrt{2}x\right)\)=
\(\displaystyle =\lim_{x\rightarrow+\infty} \) [tex]\left( \sqrt{2{x}^{3}+9{x}^{2} \over x+1 }-\sqrt{2}x \right)\left( \sqrt{2{x}^{3}+9{x}^{2} \over x+1 }+\sqrt{2}x \right) \over \sqrt{2{x}^{3}+9{x}^{2} \over x+1 }+\sqrt{2}x[/tex]=\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow+\infty} \) [tex]\left( 2{x}^{3}+9{x}^{2}-2{x}^{3}-2{x}^{2} \over x+1 \right) \over \sqrt{2{x}^{3}+9{x}^{2} \over x+1 }+\sqrt{2}x[/tex]\(\displaystyle = \)
\(\displaystyle =\lim_{x\rightarrow+\infty} \) [tex]5{x}^{2} \over (x+1)\left( \sqrt{2{x}^{3}+9{x}^{2} \over x+1 }+\sqrt{2}x \right)[/tex]\(\displaystyle = \)
raccongliendo la \(\displaystyle x \) al denominatore si ottiene
\(\displaystyle x^2\left(1+\frac{1}{x}\right) \)\(\displaystyle \left(\sqrt{\frac{2+\frac{9}{x}}{1+\frac{1}{x}}}-\sqrt{2}\right) \)
ora \(\displaystyle q=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{5x^2}{x^2\left(1+\frac{1}{x}\right)\left(\sqrt{\frac{2+\frac{9}{x}}{1+\frac{1}{x}}}-\sqrt{2}\right)}=\frac{5\sqrt{2}}{4} \)
in conclusione si ha \(\displaystyle y=\sqrt{2}\left(x+\frac{5}{4}\right) \)
Calcolare l'eventuale asintoto obliquo per \(\displaystyle x\rightarrow+\infty \) della funzione \(\displaystyle f(x)=\sqrt{\frac{2x^3+9x^2}{x+1}} \)
SVOLGIMENTO
\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow+\infty} \sqrt{\frac{2x^3+9x^2}{x+1}} =\lim_{x\rightarrow+\infty}x\sqrt{\frac{2+\frac{9}{x}}{1+\frac{1}{x}}} = +\infty \)
ok e la funzione potrebbe avere l'asintoto obliquo calcoliamo ora m e q
\(\displaystyle m=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{f(x)}{x}=\sqrt{2}\)
\(\displaystyle q=\lim_{x\rightarrow+\infty}(f(x)-mx) =\lim_{x\rightarrow+\infty}\left(\sqrt{\frac{2x^3+9x^2}{x+1}}-\sqrt{2}x\right)\)=
\(\displaystyle =\lim_{x\rightarrow+\infty} \) [tex]\left( \sqrt{2{x}^{3}+9{x}^{2} \over x+1 }-\sqrt{2}x \right)\left( \sqrt{2{x}^{3}+9{x}^{2} \over x+1 }+\sqrt{2}x \right) \over \sqrt{2{x}^{3}+9{x}^{2} \over x+1 }+\sqrt{2}x[/tex]=\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow+\infty} \) [tex]\left( 2{x}^{3}+9{x}^{2}-2{x}^{3}-2{x}^{2} \over x+1 \right) \over \sqrt{2{x}^{3}+9{x}^{2} \over x+1 }+\sqrt{2}x[/tex]\(\displaystyle = \)
\(\displaystyle =\lim_{x\rightarrow+\infty} \) [tex]5{x}^{2} \over (x+1)\left( \sqrt{2{x}^{3}+9{x}^{2} \over x+1 }+\sqrt{2}x \right)[/tex]\(\displaystyle = \)
raccongliendo la \(\displaystyle x \) al denominatore si ottiene
\(\displaystyle x^2\left(1+\frac{1}{x}\right) \)\(\displaystyle \left(\sqrt{\frac{2+\frac{9}{x}}{1+\frac{1}{x}}}-\sqrt{2}\right) \)
ora \(\displaystyle q=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{5x^2}{x^2\left(1+\frac{1}{x}\right)\left(\sqrt{\frac{2+\frac{9}{x}}{1+\frac{1}{x}}}-\sqrt{2}\right)}=\frac{5\sqrt{2}}{4} \)
in conclusione si ha \(\displaystyle y=\sqrt{2}\left(x+\frac{5}{4}\right) \)
Risposte
"21zuclo":
Verificare per favore se è corretta la retta dell'asintoto obliquo di questa funzione. Se c'è qualche errore scrivetelo pure, altrimenti se non ci sono errore..scrivete solamente "è corretto". Grazie in anticipo
Calcolare l'eventuale asintoto obliquo per \(\displaystyle x\rightarrow+\infty \) della funzione \(\displaystyle f(x)=\sqrt{\frac{2x^3+9x^2}{x+1}} \)
SVOLGIMENTO
\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow+\infty} \sqrt{\frac{2x^3+9x^2}{x+1}} =\lim_{x\rightarrow+\infty}x\sqrt{\frac{2+\frac{9}{x}}{1+\frac{1}{x}}} = +\infty \)
ok e la funzione potrebbe avere l'asintoto obliquo calcoliamo ora m e q
\(\displaystyle m=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{f(x)}{x}=\sqrt{2}\)
\(\displaystyle q=\lim_{x\rightarrow+\infty}(f(x)-mx) =\lim_{x\rightarrow+\infty}\left(\sqrt{\frac{2x^3+9x^2}{x+1}}-\sqrt{2}x\right)\)=
\(\displaystyle =\lim_{x\rightarrow+\infty} \) [tex]\left( \sqrt{2{x}^{3}+9{x}^{2} \over x+1 }-\sqrt{2}x \right)\left( \sqrt{2{x}^{3}+9{x}^{2} \over x+1 }+\sqrt{2}x \right) \over \sqrt{2{x}^{3}+9{x}^{2} \over x+1 }+\sqrt{2}x[/tex]=\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow+\infty} \) [tex]\left( 2{x}^{3}+9{x}^{2}-2{x}^{3}-2{x}^{2} \over x+1 \right) \over \sqrt{2{x}^{3}+9{x}^{2} \over x+1 }+\sqrt{2}x[/tex]\(\displaystyle = \)
\(\displaystyle =\lim_{x\rightarrow+\infty} \) [tex]5{x}^{2} \over (x+1)\left( \sqrt{2{x}^{3}+9{x}^{2} \over x+1 }+\sqrt{2}x \right)[/tex]\(\displaystyle = \)
$m=sqrt(2)$, ma $q=7/4sqrt(2)$.
C'è un errore qui:
$(2x^3+9x^2-2x^3-2x^2)/(x+1)=(7x^2)/(x+1)$
**** quel calcolo! eh va bé.. una svista!..ma è giusto il resto! grazie 
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