Verificare la validità di un'asserzione

[SimoneSc1]

Buonasera, devo svolgere questo esercizio:

Siano ${a_n}$ e ${b_n}$ due successioni tali che:
a) $a_n>0$, $\lim_{n \to \infty}a_n=1$
b) $|b_n|<1$ per ogni n

Dire quali delle seguenti asserzioni seguono da (a) e (b):

1. $\lim_{n \to \infty} (a_n+b_n)=2$
2. $\lim_{n \to \infty} (na_n+b_n)/(n+2)=1$

Secondo voi è possibile verificarle mediante la definizione di limite o c'è un'altra strada?

Grazie della'aiuto.

[marco2132k]

Metti \( a_n = 1 \), e per \( \left(b_n\right)_{n\in\mathbb N} \) prendi \( n\mapsto (-1)^n/2 \).

E comunque 1) non ti serve per dimostrare 2).

Perché di fatto si fa così: hai
\[
\frac{na_n + b_n}{n + 2} = \frac{n(a_n + \textstyle\frac1n b_n)}{n(1 + \textstyle\frac1n 2)} = \frac nn \frac{(a_n + \textstyle\frac1n b_n)}{(1 + \textstyle\frac1n 2)}
\]dove il numeratore del secondo termine tende a 1 (perché lo fa \( \left(a_n\right)_{n\in\mathbb N} \) e perché \( \left(b_n\right)_{n\in\mathbb N} \) è limitata), e lo stesso per quello che sta giu.