Verificare il teorema di Stokes

[Elia19991]

Salve, avrei un problema con questo esercizio :

Verificare il teorema di Stokes per : \(\displaystyle F(x,y,z)=(x^2-2y,zy,y^2-x) \) e\(\displaystyle \Sigma=\{(x,y,z) \in R^3 : z=\sqrt {x^2+y^2} ,x^2+y^2 \leq 4 \}\)

Quando c'è scritto di verificare il teorema di Stokes devo svolgere i due integrali \(\displaystyle \int_{\Sigma } rotF * n \) e \(\displaystyle \int_ {\Sigma } F* \gamma '(t) dt \) e vedere se i due risultati coincidono. Per quanto riguarda il primo integrale lo riesco a fare tranquillamente e come risultato mi esce \(\displaystyle 8 \pi \). Il problema viene con il secondo poiché non so come parametrizzare \(\displaystyle \gamma \). Qualche consiglio ?

[pilloeffe]

Ciao Elia1999,

Non mi pare complicato, $z = \sqrt{x^2 + y^2} $ è un cono avente vertice $V-= O(0, 0, 0) $ per cui si può parametrizzare nel modo seguente:

$\gamma(t) = (2 cos t, 2 sint, 2) \implies \gamma'(t) = (- 2sin t, 2 cos t, 0) $

ove $t \in [0, 2\pi) $ e $F(\gamma(t)) = (4 cos^2 t - 4 sin t, 4 sin t, 4 sin^2 t - 2 cos t) $ quindi si ha:

$ \Phi_{\Sigma} = \int_0^{2\pi} F(\gamma(t)) \cdot \gamma'(t) \text{d}t = $
$ = \int_0^{2\pi} (4 cos^2 t - 4 sin t, 4 sin t, 4 sin^2 t - 2 cos t) \cdot (- 2sin t, 2 cos t, 0) \text{d}t = $
$ = \int_0^{2\pi} (-8 cos^2 t sin t + 8 sin^2 t + 8 sin t cos t) \text{d}t = $
$ = 8 \int_0^{2\pi} (- cos^2 t sin t + sin^2 t + sin t cos t) \text{d}t = ... = 8 \pi $