Verificare il limite di successione

[tetravalenza]

Ciao, sul libro di Courant-Robbins ci sono diversi esercizi di verifica del limite di successione, in particolare questo
\[
a_{n}=\frac{n}{n^2+1}\longrightarrow 0
\]
consiglia di vederla come
\[
a_{n}=\frac{1}{n+\frac{1}{n}}
\]
che è minore di \(\frac{1}{n}\) e maggiore di 0, tuttavia non sono riuscito a sfruttare la cosa e ho svolto come si farebbe con
una normale disequazione in \(n\) per cui sono arrivato al polinomio di secondo grado
\[
\epsilon n^2-n+\epsilon
\]
Studiando il segno ottengo un discriminante in \(\epsilon\) che a sua volta è di secondo grado. La soluzione, procedendo in questo modo che suppongo sia sbagliato, parrebbe essere
\[
n_{\epsilon}=\lceil\frac{1+\sqrt{1-4\epsilon^2}}{2\epsilon}\rceil
\]
purché si scelga \(0<\epsilon\leq\frac{1}{2}\). È corretto? Come avrei dovuto procedere tenendo presente il consiglio dell'autore?

[pilloeffe]

Ciao tetravalenza,

"tetravalenza":Come avrei dovuto procedere tenendo presente il consiglio dell'autore?

Beh, è evidente che $\AA n \in NN_{>0} $ si ha:

$0 < 1/(n + 1/n) < 1/n $

Per cui, sfruttando il teorema dei due carabinieri...

[tetravalenza]

Ciao, grazie per il suggerimento. Per quanto riguarda la dimostrazione che ho svolto è corretta?

[pilloeffe]

"tetravalenza":Per quanto riguarda la dimostrazione che ho svolto è corretta?

Beh sì, basta applicare la definizione di limite di una successione e si ottiene proprio che

$ \frac{n}{n^2+1} < \epsilon \quad \AA n > n_{\epsilon} := \ceil{\frac{1+\sqrt{1-4\epsilon^2}}{2\epsilon}} $