Verificare che una funzione sia analitica
Buonasera, mi sto preparando per l'esame di Analisi 2 ma sono incappato in un argomento che non sto capendo pienamente; svolgendo uno degli scorsi appelli mi sono ritrovato di fronte il seguente esercizio:
Verificare che g è analitica in un intorno di $x0 = 0$ scrivendo una Serie di Taylor che abbia raggio di convergenza positivo da determinare.
Dove $g=arctan(x^2)$
Pensando alla definizione mi era venuto in mente di trovare la derivata n-esima per comporci direttamente la Serie di Taylor, però mi sono reso conto che è un procedimento abbastanza lungo e tedioso, per questo mi chiedevo se c'è un modo per ricondurre la funzione $g$ ad uno sviluppo già conosciuto (ossia $arctan(x)$).
Vi ringrazio anticipatamente per l'aiuto!
Verificare che g è analitica in un intorno di $x0 = 0$ scrivendo una Serie di Taylor che abbia raggio di convergenza positivo da determinare.
Dove $g=arctan(x^2)$
Pensando alla definizione mi era venuto in mente di trovare la derivata n-esima per comporci direttamente la Serie di Taylor, però mi sono reso conto che è un procedimento abbastanza lungo e tedioso, per questo mi chiedevo se c'è un modo per ricondurre la funzione $g$ ad uno sviluppo già conosciuto (ossia $arctan(x)$).
Vi ringrazio anticipatamente per l'aiuto!
Risposte
$x^2=t$
Sì ci avevo pensato, ma dato che non ci sono teoremi che indichino che quella funzione sarebbe analitica non saprei come continuare. Purtroppo è il metodo che mi manca.
Ottimo, vi ringrazio!
Inoltre il mio professore ha utilizzato il seguente procedimento (suppongo più veloce del trovare la derivata n-esima a mano), tuttavia non mi è esattamente chiaro questo modo di trovare la serie
Inoltre il mio professore ha utilizzato il seguente procedimento (suppongo più veloce del trovare la derivata n-esima a mano), tuttavia non mi è esattamente chiaro questo modo di trovare la serie
Quello che ha fatto il tuo professore è uno degli esempi del Pagani - Salsa sul capitolo delle serie di potenze che sfrutta il fatto che poter derivare termine a termine le serie è uno strumento molto utile, specie per sviluppare in serie una funzione data.
Tutto quello che fa è scrivere la serie delle derivate (sfruttando la serie geometrica) e integrare poi termine a termine, sotto la necessaria ipotesi che la serie converga, che in questo caso è ovviamente verificata.
A titolo d'esempio, supponi di voler trovare lo sviluppo di $\log (1+x)$.
Ovviamente, per $|t|<1$ vale $\frac{1}{1+t} = \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n t^n$. Ora integrando in $[0,x]$, per $|x|<1$ vale $\log(1+x)=\int_{0}^{x} \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n t^n dt = \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n \int_{0}^{x} t^n dt = \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n \frac{x^{n+1}}{n+1}=\sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^{n-1} \frac{x^n}{n}$
Come avrai intuito la forza di questo procedimento sta nell'estrema regolarità delle funzioni che hai e puoi dunque derivare e antiderivare termine a termien finché ti pare. Ovvio che per funzioni meno regolari questo approccio non è utile
Tutto quello che fa è scrivere la serie delle derivate (sfruttando la serie geometrica) e integrare poi termine a termine, sotto la necessaria ipotesi che la serie converga, che in questo caso è ovviamente verificata.
A titolo d'esempio, supponi di voler trovare lo sviluppo di $\log (1+x)$.
Ovviamente, per $|t|<1$ vale $\frac{1}{1+t} = \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n t^n$. Ora integrando in $[0,x]$, per $|x|<1$ vale $\log(1+x)=\int_{0}^{x} \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n t^n dt = \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n \int_{0}^{x} t^n dt = \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n \frac{x^{n+1}}{n+1}=\sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^{n-1} \frac{x^n}{n}$
Come avrai intuito la forza di questo procedimento sta nell'estrema regolarità delle funzioni che hai e puoi dunque derivare e antiderivare termine a termien finché ti pare. Ovvio che per funzioni meno regolari questo approccio non è utile
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