Verificare che una curva risulta regolare e semplice

[pasquale_piccolo]

Buon giorno a tutti,vorrei chiedervi un aiuto sul seguente esercizio:

verificare che la curva $ gamma :[0,pi ]rarr R^2 $ di equazioni parametriche

$ { ( x(t)=sen^(3)t ),( y(t)=2tsent ):} $

è una curva regolare e semplice.

Avevo pensato di procedere nel modo seguente:per dimostrare che si tratta di una curva regolare basta dimostrare che le derivate prime delle due equazioni non si annullano mai insieme,è giusto questo procedimento?come dimostro che si trattadi una curva semplice?

[ciampax]

Basta usare le definizioni: se $\gamma:I\rightarrow RR^2$ e $\gamma(y)=(x(t),y(t))$ allora
1) $\gamma$ è regolare se $(x'(t))^2+(y'(t))^2\ne 0,\ \forall\ t\in I$
2) $\gamma$ è semplice se $\gamma(t_1)\ne \gamma(t_2),\ \forall\ t_1\ne t_2,\ t_1,t_2\in I$.

[pasquale_piccolo]

Si giusto,per quanto riguarda la regolarità non ci sono problemi però non riesco a verificare che si tratta di una curva semplice,infatti:

$ gamma (0)=gamma (pi)=0 $

quindi ottiene valori uguali per differenti valori della variabile t,quindi posso concludere che non si tratta di una curva semplice?

[ciampax]

No. Il fatto che assuma valori uguali agli estremi dell'intervallo $I$ ti dice che è una curva chiusa.

[pasquale_piccolo]

si giusto è vero.....allora funziona tutto,grazie mille