Verificare che un punto è di sella tramite limiti

[federicogiorgi]

Ciao a tutti,

Vorrei capire come si verifica che (0,0) è un punto di sella tramite dei limiti considerati sulle restrizioni agli assi. La funzione in due variabili in esame è la seguente: $ f(x,y)=2x^4-y^2-x^8 $

Grazie tante per l'aiuto!

[gio73]

Ciao FG
vediamo di ragionare insieme...
senz'altro l'origine è un punto critico, perché?

per dimostrare che non è né un massimo né un minimo di basta dimostrare che se seguiamo la nostra funzione lungo una certa restrizione (l'asse x, l'asse y, la bisettrice I e III quadrante... whathever) da qualche parte scende e da qualche parte sale, giusto?

[federicogiorgi]

Ciao gio!
Grazie per l'aiuto
Il punto è critico perchè il gradiente della funzione in tale punto è nullo. Esatto. Si tratta di individuare a questo punto quali limiti calcolare lungo le restrizioni. Io ho che: $ lim_(x->infty)f(x,0)=-infty $ e $ lim_(y->infty)f(0,y)=-infty $. Non riesco a trovare altri limiti utili lungo le restrizioni agli assi. Si tratta di trovare un limite dove la funzione vada a più inifinito (o sia semplicemenete maggiore di zero) per risolvere il problema

[gio73]

controlliamo meglio cosa succede lungo l'asse $x$ intorno all'origine
è vero che se ci spostiamo verso sinistra (valori di x leggermente negativi $0>x> -1$)) otteniamo valori della nostra funzione negativi, che diminuiscono allontanandoci dall'origine, ma se ci spostiamo verso destra (valori di x leggermente positivi $0

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[anto_zoolander]

non voglio intromettermi nella risoluzione, solo dare una visione geometrica per esser d'aiuto.

Considera che i punti di sella sono analoghi ai flessi in due variabili.
Quindi come caratterizzare un punto di sella? A partire dalla convessità di una funzione.
Possiamo dire che una funzione è localmente convessa se esistono un punto ed un suo intorno nel quale la funzione sta al di sopra del piano tangente, ovvero

$exists r>0(f(x,y)geqf(x_0,y_0)+nablaf(x_0,y_0)*(x-x_0,y-y_0),forall (x,y) in B((x_0,y_0),r)$

allo stesso modo si definisce la concavità con la disuguaglianza opposta
Chiaramente una funzione è convessa se lo è in ogni punto

un punto di sella è un punto in cui una funzione non è: né concava, né convessa.
Questo significa che in ogni intorno del punto devono cadere almeno due punti che ti diano entrambe le disuguaglianze ovvero

per ogni $r>0$ esistono $(x_1,y_1)$ e $(x_2,y_2)$ dentro $B((x_0,y_0),r)$ per cui

$f(x_1,y_1)
la cosa 'ostica' è quella di determinare proprio l'esistenza di questi punti in ogni intorno del punto in considerazione.

A tal proposito è possibile considerare un insieme del tipo $A_m={(x_0+x,y_0+mx) in RR^2: x in RR}$ che ha chiaramente $(x_0,y_0)$ di accumulazione.

la funzione $g_m(x)=f(x_0+x,y_0+mx)-nablaf(x_0,y_0)*(x-x_0,y-y_0)-f(x_0,y_0)$ è una funzione da 'Analisi 1' per cui ci sono noti molti teoremi.
Geometricamente questa funzione cosa rappresenta? Rappresenta la 'distanza con segno' tra la funzione calcolata lungo una retta e il piano tangente in quel punto.

A questo punto appare normale che ci interessa sapere come si comporta il segno di questa funzione al variare di $m in RR$
A tal proposito ci accompagna il teorema di permanenza del segno, ma come?
supponiamo che per qualche $m in RR$ si abbia che $g_m -> l>0$ allora sappiamo che in almeno un intorno di $0$ potremo considerare che quella funzione sia positiva, pertanto vi cade almeno un punto in cui quella funzione è positiva e quindi chiaramente in tutti gli intorni che contengano questo punto, esisterà ancora un punto in cui la funzione è positiva.
Se prendiamo un intorno più piccolo è ancora ovvio che la funzione sarà positiva, basta pensare che tutti gli intorni più piccoli sono intorni contenuti in uno nel quale la funzione è sempre positiva.

A questo punto se consideriamo $lim_(x->0)g_m(x)$ e vediamo che il limite dipende da $m$ e riusciamo a trovare $m_1,m_2$ tali che $l_(m_1)>0$ e $l_(m_2)<0$ abbiamo finito per tutto quello che è stato detto.

Penso sia corretto e sia quello a cui ti vuole portare gio!

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[federicogiorgi]

Grazie del chiarimento anto!
Ho capito anche questa parte che riguarda la geometria del problema. Mi interessa a questo punto trovare questo limite anche per ma funzione $ g_m(x) $ . Per rispondere a gio capisco che dalla sostituizione nella restrizione della funzione all'asse x di un $ x: |x|<1 $ prima minore e poi maggiore di zero mostra che (0,0) è di sella. A questo punto se ho capito bene basterebbe fare per esempio $ lim_(x->1/2)f(x,0)=15/256>0 $ dunque $ f(x,y)>0 $ in un intorno di $ (1/2,0) $. Lo stesso per un intorno di $ (-1/2,0) $: $ lim_(x->-1/2)f(x,0)=-15/256<0 $ e di conseguenza $ f(x,y)<0 $ nell'intorno dato. In questo modo non mi servo nemmeno della restrizione lungo l'asse y.
Grazie ancora