Verificare che un dato numero è estremo superiore di un insieme

[lotuno]

Salve a tutti, come da titolo ho questo insieme:

A= {x: x= [(-1)^n]*(2n-1/n), n /in N escluso lo 0}. Ho determinato un ipotetico estremo superiore, che è 2, in quanto per qualsiasi n dell'insieme si vede che il risultato tende a 2 senza mai raggiungerlo (ad esempio per n=8 abbiamo 1*15/8 = 1,875).
Adesso stando alla definizione per provare che 2 è effettivamente il minore dei maggioranti -e dunque estremo superiore- dovrei fare: [(-1)^n]*(2n-1/n) > 2 - /epsilon

Da questo punto in poi non ho idea di come avanzare, in quanto quell'esponenziale mi impedisce di svolgere in calcoli come in una normale disequazione...

[Gi81]

$A= { (-1)^n * (2n-1)/n | n in NN \setminus {0}}$
Indichiamo con $mathbbP$ l'insieme dei numeri pari e con $mathbbD$ l'insieme dei numeri dispari.
Si ha ovviamente $mathbbP nn mathbbD= emptyset$ e $mathbbP uu mathbbD = NN$.

Definiamo $A_P = {(2n-1)/n | n in mathbbP \setminus{0}}$ e $A_D= { - (2n-1)/n | n in mathbbD}$.

Abbiamo che $A_P nn A_D= emptyset$ e $A_P uu A_D= A$.
Inoltre per ogni $b in A_P$ e per ogni $c in A_D$ abbiamo $c<0
Dunque è chiaro che $\text{sup} A = \text{sup} A_P$.

Esaminiamo meglio $A_P$.
Dato che ogni numero pari $n$ è del tipo $2m$ per un opportuno $m in NN$, possiamo riscriverlo così:
$A_P= {(4m-1)/(2m) | m in NN \setminus{0}}= {2-1/(2m) | m in NN \setminus{0}}$.

Ecco, prova a dimostrare che l'estremo superiore dell'insieme ${2-1/(2m) | m in NN \setminus{0}}$ è $2$.
Poi sei a posto.