Verificare che un bordo laterale sia una superficie regolare e calcolarne l'area

[Omar_93]

Dato $V$ solido di rotazione in $RR^3$ ottenuto girando il grafico di $y = 3 abs(z)$ con $z \in [-1, 0]$ rispetto all'asse $Oz$, devo verificare che il bordo laterale $\partial V$ sia una superficie regolare e calcolarne l'area.
Essendo un solido di rotazione lo posso rappresentare con la seguente funzione: $x^2 + y^2 = (3 abs(z))^2 => x^2 + y^2 = 9 z^2$ da cui posso ricavare $z = sqrt((x^2 + y^2)/9)$
Ora pensavo di parametrizzare la funzione, pensavo di poterla fare in due modi.
1)
$\{(x = x), (y = y), (z = sqrt((x^2 + y^2)/9)):} $
2)
$r(u, v) = \{(x = 3v cos(u)), (y = 3v sen(u)), (z = v):} $
Vorrei partire col chiedervi se queste due parametrizzazioni sono corrette, ho calcolato l'area del bordo con entrambe le parametrizzazioni ed ottengo risultati diversi (verificati anche con Wolfram Alpha) per cui credo che ci sia qualcosa di sbagliato nelle parametrizzazioni.
Vi ringrazio per l'attenzione.

[Omar_93]

Grazie per la risposta! Verificherò tutti i passaggi svolgendo l'esercizio appena possibile. Diciamo che la parametrizzazione in seno e coseno era corretta a parte per il segno. Credo comunque di aver capito come procedere, $s_u$ e $s_v$ sono i vettori delle derivate parziali calcolate rispettivamente in $u$ e $v$, poi calcolo il determinate della matrice jacobiana e ne faccio la norma.
Grazie ancora, sempre gentilissimi ed utili.