Verificare che l'insieme non è aperto

[Sk_Anonymous]

Salve a tutti ! Sto provando a svolgere questo esercizio di Analisi Funzionale : " dato $ C^0([0,1]) $ lo spazio vettoriale delle funzioni continue con la norma del massimo $ ||u||=max_x|u(x)| $ e la norma $ ||u||_1=\int_0^1 |u(x)|dx $ ,si dimostri che $ B={u: ||u||<1 } $ non è aperto in $ ( C^0([0,1]), || , ||_1 ) $ ".

Dunque devo dimostrare che B ha l'interno vuoto,cioè che $ \forall \epsilon >0 , \exists u_\epsilon $ tale che $ ||u-u_\epsilon ||_1<1 $ ma che $||u_\epsilon ||>1 $ ?? come devo procedere ? grazie |

[Rigel1]

Devi far vedere che, se prendi una funzione $u$ con \( \|u\| < 1\), per ogni $\epsilon > 0$ puoi trovare una funzione $v$ tale che \( \| v \| > 1 \) e \( \| v-u\|_1 < \epsilon \) .

[Sk_Anonymous]

Quindi devo trovare un elemento di B che non abbia alcun intorno U tutto contenuto in esso . Va bene se prendo la funzione $ u=0 $ e $ v=n(1-xn^2) $ con $ 0

Cita

Segnala

[Rigel1]

Io per non fare conti avrei preso un profilo rettangolare, ma anche triangolare va bene.

[Sk_Anonymous]

Potresti spiegarti perfavore meglio ? Grazie

[Rigel1]

Hai preso una $v$ con profilo triangolare, no?
Va benissimo (ho solo detto che io l'avrei presa con profilo rettangolare, perché il calcolo dell'area di un triangolo è più complesso ).

[Sk_Anonymous]

Pardon,allora