Verificare che funzione è localmente una curva
Ciao a tutti!
Ho dei problemi con un esercizio di Analisi 2.
L'esercizio richiede nelle sue prime parti l'analisi della funzione $ F=xye^(-x^2-y^2) $ . L'ultimo punto dell'esercizio chiede questo:
Sia $ I={(x,y) : xye^(-x^2-y^2)=e^(-4)} $ , verificare che F è localmente una curva in ogni punto $ (x_o,y_o) in I $ .
Ho letto quello che dice il teorema del Dini, ma non avendo mai trovato un esercizio del genere non so come procedere.. Potete aiutarmi?
Grazie!
Ho dei problemi con un esercizio di Analisi 2.
L'esercizio richiede nelle sue prime parti l'analisi della funzione $ F=xye^(-x^2-y^2) $ . L'ultimo punto dell'esercizio chiede questo:
Sia $ I={(x,y) : xye^(-x^2-y^2)=e^(-4)} $ , verificare che F è localmente una curva in ogni punto $ (x_o,y_o) in I $ .
Ho letto quello che dice il teorema del Dini, ma non avendo mai trovato un esercizio del genere non so come procedere.. Potete aiutarmi?
Grazie!
Risposte
Ciao,e benvenuto/a su questo Forum!
Perché non provi a vedere se l'applicazione $G(x,y)=F(x,y)-e^(-4):RR^2 to RR$ soddisfa,$AA (x_0,y_0) in I$,
le ipotesi del teorema da te citato?
Magari a quel punto la sua ts darà spunto per trovare,localmente,
una rappresentazione parametrica della curva in oggetto
:
saluti dal web.
Perché non provi a vedere se l'applicazione $G(x,y)=F(x,y)-e^(-4):RR^2 to RR$ soddisfa,$AA (x_0,y_0) in I$,
le ipotesi del teorema da te citato?
Magari a quel punto la sua ts darà spunto per trovare,localmente,
una rappresentazione parametrica della curva in oggetto
:saluti dal web.
Prima di tutto grazie per il benvenuto e per la risposta.
In pratica mi suggerisci di verificare che:
i) $ G(x_o,y_o)=0 $
ii) $ G_y(x_o,y_o)!= 0 $
Sbaglio qualcosa?
In pratica mi suggerisci di verificare che:
i) $ G(x_o,y_o)=0 $
ii) $ G_y(x_o,y_o)!= 0 $
Sbaglio qualcosa?
Nient'affatto:
solo che,essendoci pure una richiesta di continuità tra le hp del teorema del Dini per me propriamente detto
(cioè quello in $RR^2$,
dal quale si deduce la generalizzazione in $RR^n$ e la super-generalizzazione sulle funzioni implicitamente definite da sistemi..),
sei stato incompleto ..
Sistemato questo dettaglio mai trascurabile,dovresti aver tutto per concludere:
saluti dal web.
solo che,essendoci pure una richiesta di continuità tra le hp del teorema del Dini per me propriamente detto
(cioè quello in $RR^2$,
dal quale si deduce la generalizzazione in $RR^n$ e la super-generalizzazione sulle funzioni implicitamente definite da sistemi..),
sei stato incompleto
..Sistemato questo dettaglio mai trascurabile,dovresti aver tutto per concludere:
saluti dal web.
$ G(x,y) $ deve essere di classe $ C^1 $ quindi le sue derivate parziali prime devono esistere ed essere continue e nel mio caso è sempre vero.
$ G_y=x(1-2y^2)e^(-x^2-y^2) $ e si annulla per $ (0, y) $ e $ (x, +- sqrt(1/2)) $
Sicuramente ho tutto.. ma non lo vedo!
Cosa mi manca?
$ G_y=x(1-2y^2)e^(-x^2-y^2) $ e si annulla per $ (0, y) $ e $ (x, +- sqrt(1/2)) $
Sicuramente ho tutto.. ma non lo vedo!
Cosa mi manca?
Bene..ora chiediti,osservato che nessun punto di $I$ annulla quella derivata parziale,
come la tesi del teorema in questione possa esserti utile,fissato a piacere $overline(P)=(overline(x)_0,overline(y)_0) in I$,
nel trovare un intervallo base per la rappresentazione parametrica ${(x=t),(y=y(t)):}$
(che è una curva,tra l'altro molto regolare,contenente $overline(P)$..)!
Saluti dal web.
come la tesi del teorema in questione possa esserti utile,fissato a piacere $overline(P)=(overline(x)_0,overline(y)_0) in I$,
nel trovare un intervallo base per la rappresentazione parametrica ${(x=t),(y=y(t)):}$
(che è una curva,tra l'altro molto regolare,contenente $overline(P)$..)!
Saluti dal web.
Non ci sono.. sicuramente non ho capito bene.
La tesi dice che (con le condizioni già dette in precedenza) esistono un intorno $ U=]x_o-a,x_o +a[ $ di $ x_o $ e un intorno $ V=]y_o-a,y_o +a[ $ di $ y_o $ ed un unica funzione $ g: U->V $ continua e tale che $ {(x, y) ∈ U × V : F(x, y) = F(x_o, y_o)}={(x, y) ∈ U × V : y = g(x)} $
Non capisco cosa devo cercare per verificare quanto mi chiede l'esercizio. Ho verificato che le ipotesi del teorema fossero soddisfatte.. poi?
Scusami se non capisco, ma è la prima volta che affronto questo tipo di esercizio e questo teorema!
La tesi dice che (con le condizioni già dette in precedenza) esistono un intorno $ U=]x_o-a,x_o +a[ $ di $ x_o $ e un intorno $ V=]y_o-a,y_o +a[ $ di $ y_o $ ed un unica funzione $ g: U->V $ continua e tale che $ {(x, y) ∈ U × V : F(x, y) = F(x_o, y_o)}={(x, y) ∈ U × V : y = g(x)} $
Non capisco cosa devo cercare per verificare quanto mi chiede l'esercizio. Ho verificato che le ipotesi del teorema fossero soddisfatte.. poi?
Scusami se non capisco, ma è la prima volta che affronto questo tipo di esercizio e questo teorema!
Facciamo così,allora:
che mi dici della curva avente,tra le sue rappresentazioni parametriche,
la ${(x=t),(y=g(t):}," con "t in [overline(x)_0-a,overline(x)_0+a]$?
È localmente una curva passante per $overline(P)$?
E' definita implicitamente da $F$?
Saluti dal web.
che mi dici della curva avente,tra le sue rappresentazioni parametriche,
la ${(x=t),(y=g(t):}," con "t in [overline(x)_0-a,overline(x)_0+a]$?
È localmente una curva passante per $overline(P)$?
E' definita implicitamente da $F$?
Saluti dal web.
Se non mi sono perso da qualche parte, la risposta ed entrambe le tue domande è "si".
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