Verificare che d sia una distanza
Sono alle prese con questo esercizio.
Sia \(\displaystyle d:\mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n \)
\(\displaystyle \)con \(\displaystyle x=(x^1,...,x^n) \) , \(\displaystyle y=(y^1,...y^n) \)
\(\displaystyle d(x,y)=max_{i \in \{1,...,n\}}\{|x^i-y^i|\} \)
Dimostrare che \(\displaystyle d \) è una distanza su \(\displaystyle \mathbb{R}^n \)
Nel mio svolgimento tutto mi quadra tranne una cosa: non riesco a dimostrare la validità della disuguaglianza triangolare. Intanto scrivo il mio svolgimento per sottoporlo ad occhi più critici che possano eventualmente correggermi anche sulle altre proprietà.
Affinché \(\displaystyle d \) sia una distanza su \(\displaystyle \mathbb{R}^n \) devono valere le tre proprietà \(\displaystyle \forall x,y,z \in \mathbb{R^n} \):
\(\displaystyle d(x,y) \geq 0 \) con \(\displaystyle d(x,y)=0 \iff x=y \)
\(\displaystyle d(x,y)=d(y,x) \)
\(\displaystyle d(x,y) \leq d(x,z) + d(z,y) \)
1.
Sfruttando le proprietà del valore assoluto, il massimo di un insieme costituito da soli valori positivi è positivo; il massimo costituito da un insieme di soli valori nulli è anch'esso banalmente nullo. Tutto ciò equivale ad affermare esattamente la prima proprietà che risulta pertanto verificata.
2.
Se \(\displaystyle |x^i-y^i|=|y^i-x^i| \forall i \in \{1,...,n\} \)
allora anche
\(\displaystyle max_{i \in \{1,...,n\}}\{|x^i-y^i|\} = max_{i \in \{1,...,n\}}\{|y^i-x^i|\} \)
quindi provare che \(\displaystyle |x^i-y^i|=|y^i-x^i| \forall i \in \{1,...,n\} \) equivale a provare la seconda proprietà.
Dunque \(\displaystyle |x^i-y^i| = |y^i-x^i| \iff |x^i-y^i| = |-(x^i-y^i)| = |-1| \cdot |x^i-y^i| = |x^i-y^i| \)
pertanto anche la proprietà di simmetria è verificata.
3.
\(\displaystyle d(x,y) \leq d(x,z) + d(z,y) \) e cioè devo verificare che:
\(\displaystyle max \{|x^i-y^i|\} \leq max \{|x^i-z^i|\} + max \{|z^i-y^i|\} \) con \(\displaystyle i \in \{1,...,n\} \)
qui mi blocco e non so cosa fare per verificare questa disuguaglianza. Come fare?
Sia \(\displaystyle d:\mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n \)
\(\displaystyle \)con \(\displaystyle x=(x^1,...,x^n) \) , \(\displaystyle y=(y^1,...y^n) \)
\(\displaystyle d(x,y)=max_{i \in \{1,...,n\}}\{|x^i-y^i|\} \)
Dimostrare che \(\displaystyle d \) è una distanza su \(\displaystyle \mathbb{R}^n \)
Nel mio svolgimento tutto mi quadra tranne una cosa: non riesco a dimostrare la validità della disuguaglianza triangolare. Intanto scrivo il mio svolgimento per sottoporlo ad occhi più critici che possano eventualmente correggermi anche sulle altre proprietà.
Affinché \(\displaystyle d \) sia una distanza su \(\displaystyle \mathbb{R}^n \) devono valere le tre proprietà \(\displaystyle \forall x,y,z \in \mathbb{R^n} \):
\(\displaystyle d(x,y) \geq 0 \) con \(\displaystyle d(x,y)=0 \iff x=y \)
\(\displaystyle d(x,y)=d(y,x) \)
\(\displaystyle d(x,y) \leq d(x,z) + d(z,y) \)
1.
Sfruttando le proprietà del valore assoluto, il massimo di un insieme costituito da soli valori positivi è positivo; il massimo costituito da un insieme di soli valori nulli è anch'esso banalmente nullo. Tutto ciò equivale ad affermare esattamente la prima proprietà che risulta pertanto verificata.
2.
Se \(\displaystyle |x^i-y^i|=|y^i-x^i| \forall i \in \{1,...,n\} \)
allora anche
\(\displaystyle max_{i \in \{1,...,n\}}\{|x^i-y^i|\} = max_{i \in \{1,...,n\}}\{|y^i-x^i|\} \)
quindi provare che \(\displaystyle |x^i-y^i|=|y^i-x^i| \forall i \in \{1,...,n\} \) equivale a provare la seconda proprietà.
Dunque \(\displaystyle |x^i-y^i| = |y^i-x^i| \iff |x^i-y^i| = |-(x^i-y^i)| = |-1| \cdot |x^i-y^i| = |x^i-y^i| \)
pertanto anche la proprietà di simmetria è verificata.
3.
\(\displaystyle d(x,y) \leq d(x,z) + d(z,y) \) e cioè devo verificare che:
\(\displaystyle max \{|x^i-y^i|\} \leq max \{|x^i-z^i|\} + max \{|z^i-y^i|\} \) con \(\displaystyle i \in \{1,...,n\} \)
qui mi blocco e non so cosa fare per verificare questa disuguaglianza. Come fare?
Risposte
Usa la disuguaglianza triangolare per ogni \(|x^i-y^i|\) e tieni presente che \(|x^i-z^i| \leq \max_{1\leq i\leq n} \{ |x^i-z^i|\}\) e lo stesso per \(|z^i-y^i|\). 
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