Verificare che cosx tende ad 1 per x tendente a 0 con la definizione di limite
Salve, dire che cosx tende ad 1 per x tendente a 0 e facile da intuire logicamente, ma non sarebbe possibile verificarlo con la definizione di limite, poichè la verifica porterebbe ad un risultato sbagliato; ovvero dopo aver impostato la definizione di limite finito per x tendente ad un valore finito si arriva a dire che \(\displaystyle \left|cosx - 1 \right| <\varepsilon\); andando a togliere il modulo ed esplicitando la x per ognuna delle 2 disequazioni che nè escono fuori si ha:
\(\displaystyle {x
la prima non è rispettata poichè il dominio di arccosx è limitato superiormente da 1, ed 1 + \(\displaystyle \varepsilon \) è un numero poco più superiore di 1. Invece la seconda disequazione non è rispettata poichè in
\(\displaystyle {x>arccos\left(1-\varepsilon \right)} \) mi avvicino ad valori sempre più a 1 anczichè a zero.
Così non ho nè una maggiorazione nè una minorazione per x che mi facciano dire che cosx tende ad 1
\(\displaystyle {x
la prima non è rispettata poichè il dominio di arccosx è limitato superiormente da 1, ed 1 + \(\displaystyle \varepsilon \) è un numero poco più superiore di 1. Invece la seconda disequazione non è rispettata poichè in
\(\displaystyle {x>arccos\left(1-\varepsilon \right)} \) mi avvicino ad valori sempre più a 1 anczichè a zero.
Così non ho nè una maggiorazione nè una minorazione per x che mi facciano dire che cosx tende ad 1
Risposte
Magari perché sbagli a risolvere le disequazioni? 
$$|\cos x-1|<\epsilon\ \Rightarrow\ 1-\epsilon <\cos x<1+\epsilon$$
La seconda è sempre verificata, la prima implica, detto $\alpha>0$ tale che $\cos\alpha=1-\epsilon$ che $x\in[-\alpha,\alpha]$.
$$|\cos x-1|<\epsilon\ \Rightarrow\ 1-\epsilon <\cos x<1+\epsilon$$
La seconda è sempre verificata, la prima implica, detto $\alpha>0$ tale che $\cos\alpha=1-\epsilon$ che $x\in[-\alpha,\alpha]$.
Ciao ciampax, dici che la seconda disequazione è sempre verificata, ovvero \(\displaystyle {cosx}<{1+} \varepsilon \). Ma
\(\displaystyle {1+} \varepsilon \) è un valore superiore ad 1, anche se di poco (dato che \(\displaystyle \varepsilon \) è un valore molto piccolo). Quindi anche se prendeo valori più piccoli di \(\displaystyle {1+} \varepsilon \) ci sono dei valori che non appartengono al dominio del coseno. No?
\(\displaystyle {1+} \varepsilon \) è un valore superiore ad 1, anche se di poco (dato che \(\displaystyle \varepsilon \) è un valore molto piccolo). Quindi anche se prendeo valori più piccoli di \(\displaystyle {1+} \varepsilon \) ci sono dei valori che non appartengono al dominio del coseno. No?
Ma tu lo conosci il significato del segno $<$? Che centrano altri valori? Se sai che $\cos x\le 1$ per ogni $x$, allora è ovvio che sarà sempre vero che $\cos x1$. Rifletti bene, prima di sparare cose senza senso!
Con la disequazione \(\displaystyle {cosx}<1+ \varepsilon \) si sta dicendo di prendere tutti quei valori che sono minori di \(\displaystyle 1+\varepsilon \). Il problema che mi pongo io e che tra 1 e \(\displaystyle 1+\varepsilon \) ci sono infiniti valori che non posso prendere. Quindi la disequazione \(\displaystyle {cosx}<1+ \varepsilon \) è inesatta.
Mi sa che ti devi rileggere il concetto di disequazione. Se io ti dico: non puoi andare oltre il quarto piano, significa che finché non sei a nessuno dei piani superiori sei a posto, giusto? Per cui se io dico "Tu stai sotto il settimo piano" oppure "tu stai sotto il quinto piano", sono espressioni entrambe vere, corretto?
Qui è lo stesso.
Mi chiedo: ma perché vi fate tutte ste pippe mentali?
Qui è lo stesso.
Mi chiedo: ma perché vi fate tutte ste pippe mentali?
Ciao ciampax, per me la disequazione che ho posto era inesatta concentualmente. Però pensandoci più a fondo, mi sono reso conto che stavo facendo un ragionamento sbagliato. È sottointeso che non posso prendere valori più grandi di 1 per cosx dato che non fanno parte del suo codominio. Lo so, a volte mi risulta difficile capire delle cose. Comunque, posso dire che posso verificare il limite \(\displaystyle \lim_{x \rightarrow{0}}{cosx=1} \) prendendo solo l'intorno destro di zero, poiché cosx è una funzione pari. Quindi dato che le soluzioni della disequazione \(\displaystyle cosx<1+ \varepsilon \) sono \(\displaystyle [0, \infty] \) posso dire che anche se prendo una distanza \(\displaystyle \delta{\epsilon} \) molto piccola essa sarà contenuta interamente nell'insieme delle soluzioni della disequazione.
Continui a non comprendere il senso del concetto di disequazione, in ogni caso.
Se prendo valori a destra di 1, non ho nessuna x che mi conduca a questi valori, quindi devo prendere come riferimento l'altra disequazione, ovvero: \(\displaystyle cosx > 1 - \varepsilon \)
Scusa se mi intrometto. Diciamo che la tua altezza $h$ è compresa tra 1,50 m e 2,00 m (giusto? Spero...) {vedi analogia con $cos x$ che è compreso tra -1 e 1.
Ora dire che $h<50 m$ non è inesatto... Perchè tu sei effettivamente più basso di 50 metri, anche se ci sono valori tra 2 e 50 che tu non puoi raggiungere...
Ora dire che $h<50 m$ non è inesatto... Perchè tu sei effettivamente più basso di 50 metri, anche se ci sono valori tra 2 e 50 che tu non puoi raggiungere...
Ciao kobeilprofeta, l' intento di ciampax di spiegarmi le disequazioni è riuscito, ho capito cosa sono le disequazioni. Il problema che mi pongo e perchè non posso dire che \(\displaystyle \lim_{x \rightarrow {0}}{cosx = 1} \) non si può risolvere.
allora,tenendo conto del fatto che $cosx leq 1$, dobbiamo dimostrare che
$forallepsilon>0,existsI(0):forallx in I(0)-{0},1-cosx
$forallepsilon>0,existsI(0):forallx in I(0)-{0},1-cosx
Intervengo solo per dire che, al di là della questione delle disequazioni, non mi sembra corretto il modo di procedere per calcolare il limite.
Detto in parole povere, il metodo proposto per dimostrare che il coseno è una funzione continua in \(0\) si basa sull'assunto che la sua funzione inversa sia continua in \(1\).
Una dimostrazione elementare del limite proposto si basa sulle disuguaglianze
\[
1-\frac{x^2}{2} \leq \cos x \leq 1
\]
e sul teorema del confronto (noto anche come teorema dei due carabinieri).
(La seconda disuguaglianza è banale, mentre la prima si può ricavare da \(|\sin x| \leq |x|\) e dall'identità trigonometrica \(\cos x = 1-2\sin^2\frac{x}{2}\).)
Detto in parole povere, il metodo proposto per dimostrare che il coseno è una funzione continua in \(0\) si basa sull'assunto che la sua funzione inversa sia continua in \(1\).
Una dimostrazione elementare del limite proposto si basa sulle disuguaglianze
\[
1-\frac{x^2}{2} \leq \cos x \leq 1
\]
e sul teorema del confronto (noto anche come teorema dei due carabinieri).
(La seconda disuguaglianza è banale, mentre la prima si può ricavare da \(|\sin x| \leq |x|\) e dall'identità trigonometrica \(\cos x = 1-2\sin^2\frac{x}{2}\).)
Ciao Rigel, non ho capito come ricavi la seconda disequazione. Comunque, dopo una attenta riflessione ha capito che il
\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow{0}}{cosx=1} \) esiste. Al contrario se l'argomento del coseno fosse stato 1/x allora il limite per x tendente a 0 non esisterebbe; poichè; \(\displaystyle \forall \varepsilon >0 \, \exists \delta_{epsilon} >0 \ allora \ \exists \ sempre \ x_{1} \ e \ x_{2} \ t.c. \ x_{1}=0 \ x_{2}=1 \) L'argomento del coseno fa diventare il dominio della funzione illimitato superiormente. Una funzione sinosoidale che ha il dominio illimitato superiormente si comporta in maniera irregolare. Una funzione sinosoidale si comporterà in maniera irregolare anche quando viene preso per intero il suo codominio, cioè quando viene valutata sia la sua maggiorazione sia la sua minorazione.
\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow{0}}{cosx=1} \) esiste. Al contrario se l'argomento del coseno fosse stato 1/x allora il limite per x tendente a 0 non esisterebbe; poichè; \(\displaystyle \forall \varepsilon >0 \, \exists \delta_{epsilon} >0 \ allora \ \exists \ sempre \ x_{1} \ e \ x_{2} \ t.c. \ x_{1}=0 \ x_{2}=1 \) L'argomento del coseno fa diventare il dominio della funzione illimitato superiormente. Una funzione sinosoidale che ha il dominio illimitato superiormente si comporta in maniera irregolare. Una funzione sinosoidale si comporterà in maniera irregolare anche quando viene preso per intero il suo codominio, cioè quando viene valutata sia la sua maggiorazione sia la sua minorazione.
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