Verifica teorema del Dini e punto stazionario
Ciao a tutti.
Ho bisogno di aiuto sulle funzioni implicite che, non avendo esercizi validi a disposizione e non avendo seguito le lezioni, non ho capito assolutamente.
Il mio esercizio mi chiede, data $ f(x,y)=log(1+x^2+y^2)+e^{xy}-y cos(x) - x^2 -1=0 $, di verificare che in un intorno dell'origine si può esplicitare una variabile in funzione dell'altra e, utilizzando opportunamente Taylor, verificare che l'origine è un punto stazionario.
Io, nella mia immensa ignoranza, ho provato a risolverlo così:
Dato che $ f(x,y) $ e $ f_y(x,y) $ sono continue (perchè composte da funzioni continue) e che $ f(0,0)=0 $ e $ f_y(0,0) = -1 != 0 $, per il teorema di Dini è possibile esplicitare una variabile in funzione dell'altra.
Utilizzando Taylor al 1° ordine e tenendo conto che
$ log(1+t)=t + o(t) $
$ e^{t}= 1+t + o(t) $
$ cos(t)= 1 + o(t) $
e che quindi
$ log(1+x^2+y^2)=x^2+y^2+o(?) $
$ e^{xy}=1+xy+o(?) $
$ cos(x)=1+o(x) $
abbiamo che $ f(x,y)= x^2+y^2 + 1+xy -y -x^2 -1 + o(?)=y^2+xy-y+o(?)$
possiamo quindi esplicitare x in funzione di y ovvero $ x=g(y)=y+1+o(?) $
(potete notare che ho problemi con gli o piccoli... qualcuno è in grado di spiegarmi brevemente? )
dato che g'(0)=1!=0 possiamo dire che l'origine è un punto di flesso a tangente ascendente.
Ho serie lacune sia sulle funzioni implicite che sugli sviluppi di Taylor...ad esempio ho sviluppato Taylor fino al 1° ordine solo perchè è più semplice e mi permetteva di esplicitare già x in funzione di y ma non ho idea di come stabilire fino a che ordine è opportuno svilupparlo.
Sarei grato se qualcuno verificasse e correggesse il mio esercizio.
Ho bisogno di aiuto sulle funzioni implicite che, non avendo esercizi validi a disposizione e non avendo seguito le lezioni, non ho capito assolutamente.
Il mio esercizio mi chiede, data $ f(x,y)=log(1+x^2+y^2)+e^{xy}-y cos(x) - x^2 -1=0 $, di verificare che in un intorno dell'origine si può esplicitare una variabile in funzione dell'altra e, utilizzando opportunamente Taylor, verificare che l'origine è un punto stazionario.
Io, nella mia immensa ignoranza, ho provato a risolverlo così:
Dato che $ f(x,y) $ e $ f_y(x,y) $ sono continue (perchè composte da funzioni continue) e che $ f(0,0)=0 $ e $ f_y(0,0) = -1 != 0 $, per il teorema di Dini è possibile esplicitare una variabile in funzione dell'altra.
Utilizzando Taylor al 1° ordine e tenendo conto che
$ log(1+t)=t + o(t) $
$ e^{t}= 1+t + o(t) $
$ cos(t)= 1 + o(t) $
e che quindi
$ log(1+x^2+y^2)=x^2+y^2+o(?) $
$ e^{xy}=1+xy+o(?) $
$ cos(x)=1+o(x) $
abbiamo che $ f(x,y)= x^2+y^2 + 1+xy -y -x^2 -1 + o(?)=y^2+xy-y+o(?)$
possiamo quindi esplicitare x in funzione di y ovvero $ x=g(y)=y+1+o(?) $
(potete notare che ho problemi con gli o piccoli... qualcuno è in grado di spiegarmi brevemente? )
dato che g'(0)=1!=0 possiamo dire che l'origine è un punto di flesso a tangente ascendente.
Ho serie lacune sia sulle funzioni implicite che sugli sviluppi di Taylor...ad esempio ho sviluppato Taylor fino al 1° ordine solo perchè è più semplice e mi permetteva di esplicitare già x in funzione di y ma non ho idea di come stabilire fino a che ordine è opportuno svilupparlo.
Sarei grato se qualcuno verificasse e correggesse il mio esercizio.
Risposte
C'è un po' di confusione: se hai trovato che $f_y!=0$ concludi che puoi esplicitare $y$ in funzione di $x$ e non il contrario come hai scritto tu.
Per verificare se $0$ è un punto stazionario per la funzione implicita $y=g(x)$ bisogna calcolare la derivata prima in quel punto, ci sono più modi per farlo ma se fai i calcoli giusti ottieni che la derivata è nulla quindi $0$ è un punto stazionario.
Per verificare se $0$ è un punto stazionario per la funzione implicita $y=g(x)$ bisogna calcolare la derivata prima in quel punto, ci sono più modi per farlo ma se fai i calcoli giusti ottieni che la derivata è nulla quindi $0$ è un punto stazionario.
Ok ho controllato bene sulla teoria e hai ragione: dato che $ f_y != 0 $ posso esplicitare $ y $ in funzione di $ x $ e dato che $f_x=0$ NON posso esplicitare $ x $ in funzione di $ y $. Ma allora perchè sono riuscito ad esplicitare proprio $ x=g(y) $? questo mi confonde alquanto. Non sarei dovuto riuscire a esplicitare $ x $. Infatti se ci provo non riesco ad esplicitare $ y $ in funzione di $ x $...o meglio: mi escono due equazioni. Ho per caso sbagliato a calcolare le serie di Taylor?
una funzione implicita non deve necessariamente essere esplicitata in modo analitico, il teorema ti permette soltanto di affermare che esiste senza conoscere la sua espressione. La serie di Taylor la devi usare per il punto successivo cioè trovare il valore della derivata prima
Si questo è chiaro. Il teorema mi permette di affermare che posso esplicitare $y$ in funzione di $x$.
Ma poi, per trovare il valore della derivata prima di $ y=g(x) $ nell'origine, devo comunque riuscire ad esplicitare analiticamente $y$, no?
Se così non è come posso trovare la derivata prima? Mi dici che devo usare Taylor, ma in che modo?
Ma poi, per trovare il valore della derivata prima di $ y=g(x) $ nell'origine, devo comunque riuscire ad esplicitare analiticamente $y$, no?
Se così non è come posso trovare la derivata prima? Mi dici che devo usare Taylor, ma in che modo?
"Thiezar":
Ma poi, per trovare il valore della derivata prima di $ y=g(x) $ nell'origine, devo comunque riuscire ad esplicitare analiticamente $y$, no?
No. Il teorema ti permette di calcolare direttamente il valore della derivata con questa formula
$g'(x)=-(f_x(x,g(x)))/(f_y(x,g(x)))$ sapendo che $x=0$ e $g(0)=0$
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