Verifica soluzione di un equazione differenziali di secondo grado

[zaro90]

Salve a tutti, il mio problema è di verificare che la :
$y(t) = 2t^2 + t -2 + cos(sqrt (2t))$ è soluzione della seguente equazione $y’’ + 2y = 4t^2 +2t$.
potete aiutarmi garzie

[gugo82]

Come faresti?
Che vuol dire “$y(t)$ è soluzione della EDO tal dei tali”?


P.S.: Credo che l’argomento del coseno sia $sqrt(2)\ t$ e non $sqrt(2t)$ come hai scritto, vero?
Nel caso, correggi il testo, per favore.

[pilloeffe]

Ciao zaro90,

Benvenuto sul forum!

Ti faccio cortesemente notare che quella che hai scritto non è un'equazione differenziale:

"zaro90":[...] è soluzione della seguente equazione $y+2y=4t^2+2t $

Manca qualche derivata da qualche parte, se no diventa difficile aiutarti...

[zaro90]

Scusa ma c'è un errore nella scrittura dell'equazione.
l'equazione è y"+2y=4t^2 + 2t (cioè derivata seconda di y + 2 y =4t al quadrato + 2t)

L'aromento del coseno è effettivamente sqrt(2t) (la t è compresa nella radice)

[gugo82]

[xdom="gugo82"]@zaro90: Non hai nulla di cui scusarti.

@pilloeffe:

"pilloeffe":Ti faccio cortesemente notare che quella che hai scritto non è un'equazione differenziale:
[quote="zaro90"][...] è soluzione della seguente equazione $y+2y=4t^2+2t $

Manca qualche derivata da qualche parte, se no diventa difficile aiutarti... [/quote]
È un errore del parser, che non leggeva bene gli apici.
Lasciamo i moderatori lavorare?
Grazie.[/xdom]

@zaro90: No, c’è un errore di stampa allora. Il $t$ deve stare fuori dalla radice, se il testo dell’esercizio è riportato correttamente.
Altrimenti, sei sicuro che l’esercizio non chieda di verificare “se” la funzione $y(t)$ è una soluzione?

[zaro90]

Hai ragione. Stupido io che ci sto perdendo la testa da giorni.
Effettivamente la t è fuori dall radice.
Comunque potresti spiegami come si verifica ?
Ti racconto il contesto. Io avevo calcolato la soluzione come y(t)= 2t^2 + t -2 , ma il prof mi ha detto che era esatta ma non era l'unica soluzione e mi ha prposto quella indicata. Solo che non ne venivo fuori.

[gugo82]

Definizione: che cos’è una soluzione di una EDO?

[zaro90]

Non capisco bene la domanda.
ma da quanto so se derivo due volte la soluzione e poi sostituisco i valori ottenuti nellequazione differenziale dovrei ottenere un eguaglianza.
Questo si ottiene facilmente con la soluzione y(t) =2t^2 + t -2 di cui la derivata seconda è = 4 e quindi sostituendo nell equazione si ha 4+4t^2+2t-4=4t^2+2t e si verifica l'eguaglianza.
Non rieco a fare lo stesso con la soluzione prpostami dal prof.

[gugo82]

"zaro90":Non capisco bene la domanda.
ma da quanto so se derivo due volte la soluzione e poi sostituisco i valori ottenuti nellequazione differenziale dovrei ottenere un eguaglianza.

Giusto il principio, ma devi sapere che questo viene fuori dalla definizione di soluzione.

Una funzione $bar(y) : I -> RR$ definita nell’intervallo aperto non vuoto $I subseteq RR$ è una soluzione dell’equazione differenziale $y^{\prime \prime}(t) + 2 y(t) = f(t)$ (o, nel caso generale, $L[y(t)] = f(t)$ con $L$ operatore differenziale del secondo ordine) nell’intervallo $I$ se e solo se risulta:
\[
\bar{y}^{\prime \prime} (t) + 2 \bar{y}(t) = f(t)\qquad \text{(o, in generale, } L[\bar{y}(t)] = f(t)\text{)}
\]
per ogni $t in I$.

"zaro90":Questo si ottiene facilmente con la soluzione y(t) =2t^2 + t -2 di cui la derivata seconda è = 4 e quindi sostituendo nell equazione si ha 4+4t^2+2t-4=4t^2+2t e si verifica l'eguaglianza.
Non rieco a fare lo stesso con la soluzione prpostami dal prof.

Perché non riesci a fare lo stesso?
Chi te lo impedisce?

[zaro90]

Seguendo lo stesso ragionamento viene :
4t^2 +2t -cos (sqrt(2)t) -4 = 4t^2 + 2t
vedo che i temini in t si equivalgono ma non riesco a capire com gestire la parte termine noto . Cioè non deve essere cosiderato nel ragionamento ?

[gugo82]

Fai bene i conti… Ti manca qualche coseno quando sostituisci.

[pilloeffe]

"zaro90":Non riesco a fare lo stesso con la soluzione propostami dal prof.

La soluzione che ti ha proposto il docente è una delle possibili soluzioni ed è corretta.
Attenzione che devi derivare due volte la soluzione e sommarla a $2y(t) $ e i conti li devi fare con quella corretta, che è

$y(t) = 2t^2 + t - 2 + cos(\sqrt{2}t) $

non quella che hai scritto inizialmente. Riprova e vedrai che risulta...

[zaro90]

Ripensando a quanto mi hai scritto relativamente alla definizione di soluzione , effettivamente la parte termine noto non dovrebbe influenzare l'eguaglianza che si riferisce solamente ai termini conteneti la variabile.
E' corretto ?
Grazie

[zaro90]

Grazie .
sei stato molto gentile.