Verifica serie di Laurent

[Oiram92]

Sviluppare \(\displaystyle f(z) \) in serie di Laurent in \(\displaystyle T = \left \{ z \in \mathbb{C} : |z+1|>1 \right\} \) :

\(\displaystyle f(z) = \frac{1}{(z-1)^2(z-2)} \)

L'insieme in cui sviluppare la funzione in serie di Laurent è l'intero piano privato del disco di centro \(\displaystyle -1 \) e raggio unitario. I punti di singolarità di \(\displaystyle f(z) \) sono \(\displaystyle 1,2 \) (in particolare sono rispettivamente poli di molteplicità/ordine \(\displaystyle 2 \) e \(\displaystyle 1 \)).

Domanda 1) Da questo fatto posso dire che la serie di Laurent avrà 3 termini con esponente negativo o non è vero? Tale fatto dipende dall'insieme \(\displaystyle T \) ?

Eseguendo la decomposizione in fratti semplici si ottiene :

\(\displaystyle \frac{1}{(z-1)^2(z-2)} = -\frac{1}{(z-1)^2} - \frac{1}{z-1} + \frac{1}{z-2} \)

Sviluppando i singoli termini :

\(\displaystyle \frac{1}{z-1} = \frac{1}{z+1} \cdot \frac{1}{1-\frac{2}{z+1}} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{2^n}{(z+1)^{n+1}} \)

\(\displaystyle \frac{1}{z-2} = \frac{1}{z+1} \cdot \frac{1}{1- \frac{3}{z+1}} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{3^n}{(z+1)^{n+1}} \)

Notando che :

\(\displaystyle D \left\{\frac{1}{z-1} \right\} = - \frac{1}{(z-1)^2} \)

Allora :

\(\displaystyle - \frac{1}{(z-1)^2} = D \left \{ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{2^n}{(z+1)^{n+1}} \right\} = \sum_{n=0}^{\infty} D \left \{ \frac{2^n}{(z+1)^{n+1}} \right\} = - \sum_{n=0}^{\infty} \frac{2^n (n+1)}{(z+1)^{n+2}} \)

Quindi, infine :

\(\displaystyle \frac{1}{(z-1)^2(z-2)} = - \sum_{n=0}^{\infty} \frac{2^n (n+1)}{(z+1)^{n+2}} - \sum_{n=0}^{\infty} \frac{2^n}{(z+1)^{n+1}} + \sum_{n=0}^{\infty} \frac{3^n}{(z+1)^{n+1}} \)

Domanda 2) è corretto? Se adesso volessi mettere tutto in un'unica sommatoria in modo tale da avere :

\(\displaystyle f(z) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n (z-z_0)^n \)

come potrei fare? Il "fastidio" è dovuto alla prima sommatoria in cui figura \(\displaystyle (z+1)^{n+2} \).

[Oiram92]

nessuno?