Verifica limiti tramite definizione
Ciao a tutti!
Facendo ripetizioni mi è toccato riprendere questo argomento e ci sono due esercizi su cui ho qualche problema (e sono un pò arrugginito). Vi posso chiedere un check?
Esercizio 1
Verificare che $\lim_{x \to 0^-}2^(1/x) = 0^+$.
Devo trovare un intorno sinistro di $0$ tale che per ogni $x$ nell'intorno è verificata la disuguaglianza $|2^(1/x)|<\epsilon$ per ogni $\epsilon>0$.
$|2^(1/x)|<\epsilon$
$-\epsilon<2^(1/x)<\epsilon$
La disequazione $-\epsilon<2^(1/x)$ è verificata per ogni $x$
La disequazione $2^(1/x)<\epsilon$ è verificata per ogni $x>1/(log_2 \epsilon)$ (applico $log_2$ funzione monotona crescente)
L'intersezione delle due soluzione è $x>1/(log_2 \epsilon)$ che non è un intorno sinistro di $0$.
Dove sbaglio?
Esercizio 2)
Verificare che $\lim_{x \to -2}x/(x+1) = 2$.
Procedo come prima.
$|x/(x+1) - 2|<\epsilon$
$|-(x+2)/(x+1)|<\epsilon$
$-\epsilon<-(x+2)/(x+1)<\epsilon$
Studio a parte le due disequazioni:
$-(x+2)/(x+1)<\epsilon$ è verificata per $x<-(2+\epsilon)/(1+\epsilon) \vee x> -1$
cioè $x<-(1/(1+\epsilon))-1 \vee x> -1$
$-(x+2)/(x+1)>-\epsilon$ con qualche conto diventa
$(x(1-\epsilon) + 2 - \epsilon) /(x+1)<0$
$N>0$: $x> -1 - 1/(\epsilon-1)$
$D>0$: $x> -1$
Ora dovrei studiare i segni, ma $-1 - 1/(\epsilon-1)$ è maggiore o minore di $1$ a secondo del valore di $\epsilon$ e già questo mi sembra "strano".
Anche procedendo con la discussione dei casi, non ottengo un intorno di $-2$.
Supponendo che i conti (che ho ricontrollato più volte) mi sembrano corretti, dove sbaglio?
Thanks to everyone!
Facendo ripetizioni mi è toccato riprendere questo argomento e ci sono due esercizi su cui ho qualche problema (e sono un pò arrugginito). Vi posso chiedere un check?
Esercizio 1
Verificare che $\lim_{x \to 0^-}2^(1/x) = 0^+$.
Devo trovare un intorno sinistro di $0$ tale che per ogni $x$ nell'intorno è verificata la disuguaglianza $|2^(1/x)|<\epsilon$ per ogni $\epsilon>0$.
$|2^(1/x)|<\epsilon$
$-\epsilon<2^(1/x)<\epsilon$
La disequazione $-\epsilon<2^(1/x)$ è verificata per ogni $x$
La disequazione $2^(1/x)<\epsilon$ è verificata per ogni $x>1/(log_2 \epsilon)$ (applico $log_2$ funzione monotona crescente)
L'intersezione delle due soluzione è $x>1/(log_2 \epsilon)$ che non è un intorno sinistro di $0$.
Dove sbaglio?
Esercizio 2)
Verificare che $\lim_{x \to -2}x/(x+1) = 2$.
Procedo come prima.
$|x/(x+1) - 2|<\epsilon$
$|-(x+2)/(x+1)|<\epsilon$
$-\epsilon<-(x+2)/(x+1)<\epsilon$
Studio a parte le due disequazioni:
$-(x+2)/(x+1)<\epsilon$ è verificata per $x<-(2+\epsilon)/(1+\epsilon) \vee x> -1$
cioè $x<-(1/(1+\epsilon))-1 \vee x> -1$
$-(x+2)/(x+1)>-\epsilon$ con qualche conto diventa
$(x(1-\epsilon) + 2 - \epsilon) /(x+1)<0$
$N>0$: $x> -1 - 1/(\epsilon-1)$
$D>0$: $x> -1$
Ora dovrei studiare i segni, ma $-1 - 1/(\epsilon-1)$ è maggiore o minore di $1$ a secondo del valore di $\epsilon$ e già questo mi sembra "strano".
Anche procedendo con la discussione dei casi, non ottengo un intorno di $-2$.
Supponendo che i conti (che ho ricontrollato più volte) mi sembrano corretti, dove sbaglio?
Thanks to everyone!
Risposte
"Lory314":
L'intersezione delle due soluzione è $x>1/(log_2 \epsilon)$ che non è un intorno sinistro di $0$.
Intanto:
$\lim_{\epsilon\to 0^+}1/(log_2 \epsilon)=0^-$
Volendo proprio vedere la condizione $x<0$, andrebbe imposta all'inizio, visto che cerchi un intorno sinistro.
"Lory314":
Verificare che $\lim_{x \to -2}x/(x+1) = 2$.
Stai cercando un intorno di $-2$. Se ti accontenti di un intorno al massimo di raggio $1$, e non si comprende perchè non dovresti accontentarti, sempre che tu non sia masochista, inutile studiare il segno del denominatore.
"gordnbrn":
Volendo proprio vedere la condizione $x<0$, andrebbe imposta all'inizio, visto che cerchi un intorno sinistro.
Questo non dovrebbe influire sul risultato. Anche non imponendo la condizione $x<0$, dovrebbe saltare fuori direttamente dai conti un intorno sinistro di $0$ o un intorno più grande che ne contiene uno.
"Lory314":
Verificare che $\lim_{x \to -2}x/(x+1) = 2$.
Stai cercando un intorno di $-2$. Se ti accontenti di un intorno al massimo di raggio $1$, e non si comprende perchè non dovresti accontentarti, sempre che tu non sia masochista, inutile studiare il segno del denominatore.[/quote]
Non mi torna troppo come ragionamento. Potresti cortesemente provare a spigarti meglio?
"Lory314":
La disequazione $2^(1/x)<\epsilon$ è verificata per ogni $x>1/(log_2 \epsilon)$ (applico $log_2$ funzione monotona crescente)
L'intersezione delle due soluzione è $x>1/(log_2 \epsilon)$ che non è un intorno sinistro di $0$.
Da $2^(1/x)<\epsilon$ segue
\[1/x<\log_2\varepsilon\]
qualunque sia $x$ e qualunque sia $\epsilon$. Dopodiché, assumendo $\epsilon<1$ - cosa buona e giusta[nota]In generale ci si può limitare a considerare $epsilon$ "piccoli a piacere", cioè minori di un'arbitraria costante positiva $epsilon_0$. Infatti
se la disuguaglianza
\[|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon\]
è verificata in un intorno $U$ di $x_0$ per qualche $\epsilon<\epsilon_0$, allora, ovviamente, sarà verificata nello stesso intorno $U$ la disuguaglianza
\[|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon'\]
per tutti gli $epsilon'\ge\epsilon_0$.[/nota] - hai che la precedente è verificata da nessun $x>0$ (dato che se $x>0$ hai $1/x>0>\log_2\epsilon$), ma da tutti gli $x<0$ tali che
\[1/\log_2\varepsilon
Come diceva gordbrn, tuttavia, non ha senso preoccuparsi degli $x>0$: dato che cerchi un intorno sinistro dello zero, imponi $x<0$ sin dall'inizio
Quando ho scritto:
"Questo non dovrebbe influire sul risultato. Anche non imponendo la condizione $x<0$, dovrebbe saltare fuori direttamente dai conti un intorno sinistro di 0 o un intorno più grande che ne contiene uno."
intendevo quello che hai scritto te in maniera formale.
Non intendevo che gordbrn avesse scritto in maniera sbagliata.
Dovendo mostrare il ragionamento a uno studente di liceo preferisco aver qualcosa di "concreto" da far vedere piuttosto che fargli qualche ragionamento astratto, come siamo più abituati a fare.
"Questo non dovrebbe influire sul risultato. Anche non imponendo la condizione $x<0$, dovrebbe saltare fuori direttamente dai conti un intorno sinistro di 0 o un intorno più grande che ne contiene uno."
intendevo quello che hai scritto te in maniera formale.
Non intendevo che gordbrn avesse scritto in maniera sbagliata.
Dovendo mostrare il ragionamento a uno studente di liceo preferisco aver qualcosa di "concreto" da far vedere piuttosto che fargli qualche ragionamento astratto, come siamo più abituati a fare.
Scusami Lory314, ma non mi pare di aver fatto alcun ragionamento astratto.
In ogni caso, la condizione $x<0$ andrebbe imposta non solo per comodità, manche per definizione di limite per $x\to 0^-$:
\[\forall \varepsilon>0,\quad\exists \delta>0\ :\ \forall x\in(-\delta,0),\ |f(x)-L|<\varepsilon\]
Che poi si possa fare a meno di imporla (a proprio discapito), è un altro discorso.
Se invece ti riferisci al "trucco" di scegliere $\epsilon<1$, beh, da studente delle superiori preferirei centomila volte che mi si mostrasse un ragionamento come questo, piuttosto che farmi sfasciare di contazzi inutili distinguendo casi e casi che non ha senso distinguere. Non ci trovo nulla di "concreto" in questo modo di fare.
In ogni caso, la condizione $x<0$ andrebbe imposta non solo per comodità, manche per definizione di limite per $x\to 0^-$:
\[\forall \varepsilon>0,\quad\exists \delta>0\ :\ \forall x\in(-\delta,0),\ |f(x)-L|<\varepsilon\]
Che poi si possa fare a meno di imporla (a proprio discapito), è un altro discorso.
Se invece ti riferisci al "trucco" di scegliere $\epsilon<1$, beh, da studente delle superiori preferirei centomila volte che mi si mostrasse un ragionamento come questo, piuttosto che farmi sfasciare di contazzi inutili distinguendo casi e casi che non ha senso distinguere. Non ci trovo nulla di "concreto" in questo modo di fare.
Non mi riferivo al tuo ragionamento, ma a quanto ha scritto gordbrn. Risolvere l'esercizio tirando in ballo un ulteriore limite (che poi andrebbe calcolato a sua volta con la definizione) mi pare oltre che lungo più complesso concettualmente.
La tua soluzione mi sembra più "concreta".
Concordo con te che usare il trucco degli epsilon piccolo a piacere è una ottima soluzione e che sarebbe apprezzabile che tutti gli studenti di un liceo imparino questo tipo di ragionamento.
Io stesso quando mi ha fatto vedere l'esercizio stavo per dire "bhe, basta prendere un epsilon piccolo a piacere e ...", ma avevo paura di confondere le idee, dato che non sempre questo tipo di ragionamenti riescono a passare nella mente di uno studente del liceo (almeno, questa è la mia esperienza) e dato che al volo non mi veniva in mente come mostrare il "trucco" attraverso i conti come hai fatto te.
La tua soluzione mi sembra più "concreta".
Concordo con te che usare il trucco degli epsilon piccolo a piacere è una ottima soluzione e che sarebbe apprezzabile che tutti gli studenti di un liceo imparino questo tipo di ragionamento.
Io stesso quando mi ha fatto vedere l'esercizio stavo per dire "bhe, basta prendere un epsilon piccolo a piacere e ...", ma avevo paura di confondere le idee, dato che non sempre questo tipo di ragionamenti riescono a passare nella mente di uno studente del liceo (almeno, questa è la mia esperienza) e dato che al volo non mi veniva in mente come mostrare il "trucco" attraverso i conti come hai fatto te.
Ho scritto $\lim_{\epsilon\to 0^+}1/(log_2 \epsilon)=0^-$ solo perchè non comprendevo il problema a vedere l'intorno.
Appurato che il problema era la condizione $x<0$, cosa che mi lascia piuttosto sconcertato, ti ho detto come procedere mantenendo le cose semplici. Temo che tu non abbia la minima idea del livello tenuto quando si fanno a scuola. Dimenticavo. Ho tutte le maturità assegnate dal primo dopoguerra. Non ricordo assegnata una verifica di limite.
Appurato che il problema era la condizione $x<0$, cosa che mi lascia piuttosto sconcertato, ti ho detto come procedere mantenendo le cose semplici. Temo che tu non abbia la minima idea del livello tenuto quando si fanno a scuola. Dimenticavo. Ho tutte le maturità assegnate dal primo dopoguerra. Non ricordo assegnata una verifica di limite.
"gordnbrn":
Ho scritto $\lim_{\epsilon\to 0^+}1/(log_2 \epsilon)=0^-$ solo perchè non comprendevo il problema a vedere l'intorno.
Appurato che il problema era la condizione $x<0$, cosa che mi lascia piuttosto sconcertato, ti ho detto come procedere mantenendo le cose semplici.
Senza offesa, ma mi sembra più semplice, completa e chiara da spiegare la risposta di Plepp.
Inoltre la condizione $x<0$ non è necessario imporla a priori, ma, come ha scritto Plepp, salta fuori anche risolvendo $1/x < log_2 \epsilon$ con $\epsilon < 1$ e facendo una discussione dei casi.
Questo NON significa che imporla all'inizio sia sbagliato, anzi.
OFF TOPIC
"gordnbrn":
Temo che tu non abbia la minima idea del livello tenuto quando si fanno a scuola. Dimenticavo. Ho tutte le maturità assegnate dal primo dopoguerra. Non ricordo assegnata una verifica di limite.
Cosa intendi per livello tenuto quando si fanno a scuola?
Complimenti per la collezione, ma il fatto che alla maturità non venga chiesto non vuol dire che non si possa cercare di spiegarlo comunque. Tant'è che lo studente in questione fa il classico e non lo scientifico e non farà di certo la seconda prova di matematica. Gli esercizi NON devono essere fatti in funzione di una verifica o di un esame ma per imparare a ragionare.
Scusami Lory314, ma se tu hai un limite in cui $x$ si avvicina al punto limite da sinistra, non solo è inutile guardare a destra ma anche concettualmente sbagliato se il tuo obiettivo è proprio quello di "insegnare a ragionare".
Quella simbologia $x->x_0^-$, diversa dal "solito", sta a significare questo e dovrebbe essere la prima cosa da cui partire.
IMHO.
Cordialmente, Alex
Quella simbologia $x->x_0^-$, diversa dal "solito", sta a significare questo e dovrebbe essere la prima cosa da cui partire.
IMHO.
Cordialmente, Alex
"Lory314":
Senza offesa, ma mi sembra più semplice, completa e chiara da spiegare la risposta di Plepp.
Io non mi offendo. Mi asciugo le lacrime cagionate.
"Lory314":
Cosa intendi per livello tenuto quando si fanno a scuola?
Complimenti per la collezione, ma il fatto che alla maturità non venga chiesto non vuol dire che non si possa cercare di spiegarlo comunque. Tant'è che lo studente in questione fa il classico e non lo scientifico e non farà di certo la seconda prova di matematica. Gli esercizi NON devono essere fatti in funzione di una verifica o di un esame ma per imparare a ragionare.
Sotto questo aspetto sfondi una porta aperta. E non sono nemmeno una persona utilitarista. Quello che ho detto si basa sull'esperienza. Volente o nolente. Nolente.
"axpgn":
Scusami Lory314, ma se tu hai un limite in cui $x$ si avvicina al punto limite da sinistra, non solo è inutile guardare a destra ma anche concettualmente sbagliato se il tuo obiettivo è proprio quello di "insegnare a ragionare".
Quella simbologia $x->x_0^-$, diversa dal "solito", sta a significare questo e dovrebbe essere la prima cosa da cui partire.
IMHO.
Cordialmente, Alex
Grazie per il tuo intervento. Cominciavo a pensare di essere su scherzi a parte.
Come se qualcuno mi chiedesse di portargli un cane, e io andassi in un'oasi felina a cercargli un gatto. Ma sì, facciamoci del male! Avanti tutta!
"Lory314":
Verificare che $\lim_{x \to -2}x/(x+1) = 2$.
"gordnbrn":
Stai cercando un intorno di $-2$. Se ti accontenti di un intorno al massimo di raggio $1$, e non si comprende perchè non dovresti accontentarti, sempre che tu non sia masochista, inutile studiare il segno del denominatore.
"Lory314":
Non mi torna troppo come ragionamento. Potresti cortesemente provare a spigarti meglio?
Sto cercando un intorno di $-2$. Nella definizione di limite non viene chiesto l'intorno esatto per ogni $\epsilon$, ne basta uno. Se nel risolvere una disequazione fratta parametrica, una brutta bestia, posso semplificare il procedimento sacrificando l'intorno esatto, lo faccio tutta la vita! Mettendomi nella condizione $x<-1$, posso permettermi di non studiare il segno del denominatore, anche se al massimo il raggio destro dell'intorno non potrà superare uno, visto che $-2$ ha distanza $1$ da $-1$. Ma è possibile che tu stia dando ripetizioni e non sai queste cose? Inoltre, il mio primo intervento, quello che ho appena riportato, avrebbe dovuto essere più che sufficiente per una persona che sa di che cosa stiamo parlando. Tu invece mi chiedi di dare ulteriori spiegazioni. Perdonami se mi inalbero un po', spero ti arrivi con più forza il messaggio che, nelle verifiche, c'era un piccolo universo di rigore logico nascosto, proprio di quel rigore che adesso ti sta tanto a cuore, ma tu non hai saputo coglierlo.
"Lory314":
$(x(1-\epsilon) + 2 - \epsilon) /(x+1)<0$
$N>0$: $x> -1 - 1/(\epsilon-1)$
$D>0$: $x> -1$
Quando hai posto il numeratore positivo, a voler cercare gli intorni esatti, dovresti discutere $(1-\epsilon)$, se negativo bisogna cambiare verso. Anche qui, che bisogno c'è di discutere $\epsilon$? E' evidente che l'intorno che ottengo per $\epsilon$ piccolo è contenuto in quello che ottengo per $\epsilon$ grande. Morale: mettiti sempre nella condizione degli $\epsilon$ piccoli positivi, $1-\epsilon>0$ e quindi $x>(\epsilon-2)/(1-\epsilon)$, eviterai un'altra inutile discussione (la disequazione è sbagliata e non si capisce se non hai fatto la discussione seguendo una logica o magari, al netto dell'errore, ci avresti preso per caso) e avrai portato a termine la verifica in modo non solo assolutamente rigoroso, ma anche più sintetico possibile. Insomma, avrai raggiunto la perfezione della conoscenza, meglio non è dato.
"gordnbrn":
Ma è possibile che tu stia dando ripetizioni e non sai queste cose? Inoltre, il mio primo intervento, quello che ho appena riportato, avrebbe dovuto essere più che sufficiente per una persona che sa di che cosa stiamo parlando. Tu invece mi chiedi di dare ulteriori spiegazioni. Perdonami se mi inalbero un po', spero ti arrivi con più forza il messaggio che, nelle verifiche, c'era un piccolo universo di rigore logico nascosto, proprio di quel rigore che adesso ti sta tanto a cuore, ma tu non hai saputo coglierlo.
Non sarò un genio della matematica, non l'ho mai pensato e non lo sarò mai. Ho una laurea magistrale in matematica con il massimo dei voti, non regalata, ne comprata, ne sono raccomandato. Se ho chiesto una mano è perchè evidentemente sono a digiuno da un pò di tempo su certi argomenti. Ho chiesto semplicemente ulteriori spiegazioni, cosa c'è di male? Mi sembrava sufficiente darle, come hai fatto, senza ulteriori digressioni, tra l'altro inutili. Evitiamo di indagare sul perché la certa gente abbia tempo ed energie da sprecare per certe cose.
Posso benissimo non essere un genio, ma non ci sto ad essere preso in giro o giudicato da chi neanche mi conosce. A giudicarmi ci ha già pensato più di una persona con sicuramente più professionalità, esperienza e competenze di voi.
Preciso inoltre che ogni risposta verrà da me ingnorata, non perché penso sia inutile il confronto, ma ho semplicemente altro di cui occuparmi.
Un suggerimento: imparate prima il rispetto. Nella vita vi sarà di gran lunga più importante della matematica.
Assalito dallo sconforto, avevo postato una risposta piuttosto piccata. Non ti nascondo che le tue allusioni mi avevano molto infastidito. Ma non ne vale la pena. Quindi, se ti sei sentito indebitamente giudicato, sappi che non era mia intenzione. Tanto meno volevo mancarti di rispetto. Se ti ho dato questa impressione, non mi resta che porgerti le mie scuse e augurarti buon lavoro. Insomma, anche se di questi tempi non sembra essere più di moda, porgo l'altra guancia.
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