Verifica limiti

[enpires1]

Ciao a tutti!!
Dovrei trovare il limite di questa funzione negli estremi finiti del dominio.
la funzione è $f(x,y) = log [arctan (xy)]$
Dopo che ho trovato il dominio ($xy>0$ ovvero primo e terzo quadrante assi esclusi) ho provato a fare i limiti e li ho impostati così:
1) $lim_(x->0) log [arctan (xy)] = -\infty$
2) $lim_(y->0) log [arctan (xy)] = -\infty$
Quindi ho supposto che il limite fosse quello... ma mi sembra un pò riduttivo restringermi a solo queste due rette... quindi come posso fare?? devo usare qualche teorema tipo quello dei carabinieri?

EDIT:
Visto che nessuno ha ancora risposto ne approfitto per aggiungerne un altro (in cui ho usato il teorema dei carabinieri)... purtroppo il mio libro non ha soluzioni

$lim_((x,y)->(0,0)) (xy)/(x+y)$ definito su $D = {(x,y) in RR^2 : x>0, y>0}$
ho supposto che la funzione $(xy)/(-x)$ sia sempre più piccola della funzione data (in quanto questa sempre negativa e quella data sempre positiva), mentre la funzione $(xy)/x$ sia sempre più grande (in quanto ha denominatore minore della funzione data). quindi (semplificando dalle due nuove funzioni le $x$ di troppo) ottengo
$-y <= (xy)/(x+y) <= y$ che, quando $(x,y)->(0,0)$ mi dicono che
$0<= (xy)/(x+y) <= 0$ per $(x,y)->(0,0)$ quindi il limite è $0$

[ciampax]

Per il primo: puoi provare a sostituire qualsiasi retta della forma $y=mx$ (rette per l'origine). Otterrai sempre lo steso valore del limite (che quindi non dipende dalla scelta della $m$, ovvero della direzione) e quindi puoi concludere che...

Per il secondo: non ho capito bene quello che hai fatto, ma mi pare che funzioni. Anche in questo caso, però, puoi provare il metodo precedentemente descritto.

[enpires1]

Ma basta utilizzare le rette? io ricordo questo esercizio in cui avvicinandoti tramite qualsiasi retta il limite era uguale, ma usando una parabola no.
$lim_((x,y)->(0,0)) (x^2y)/(x^4 + y^2)$
Sostituendo la generica retta passante per l'origine $y=mx$ ottengo
$lim_((x,y)->(0,0)) f(x,mx) = lim_((x,y)->(0,0)) (x^2 *mx)/(x^4 + m^2x^2) = lim_((x,y)->(0,0)) (mx)/(x^2 + m^2) = 0$
ma se provo ad avvicinarmi con la parabola $y=x^2$ ottengo
$lim_((x,y)->(0,0)) f(x,x^2) = lim_((x,y)->(0,0)) (x^4)/(x^4 + x^4) = 1/2$ e quindi il limite non esiste!
Da qui deducevo che non bastasse avvicinarsi con rette generiche per dimostrare un limite... Cado in errore?

[serpo50]

Il secondo esercizio porta ad una considerazione immediata se $ x->0$ e $y->0$ il loro prodotto tende a 0 con ordine 2 mentre a denominatore $ x->0$ e $y->0$ hai la somma dei due che tnde a 0 con ordine 1 ovvero se metti valori piccoli di x e y ti ritrovi nella condizione $limite=0.00001/0.002$ che chiaramente tende a 0 se ci si avvicina al punto $x=0$ ,$y=0$ il procedimento usato da te va bene ma per me troppo macchinoso!

[enpires1]

serpo50, si ti ringrazio l'avevo capito quello
Quello che ora è il mio dubbio è se basti restringersi alle sole rette per verificare un limite

[dissonance]

@ enpires: La risposta alla tua ultima domanda è in generale no, e un esempio te lo sei fatto da solo ($f(x, y)=(x^2y)/(x^4+y^2)$). Perché si possa passare da limiti "unidimensionali" a limiti "bidimensionali" (qualunque cosa questi due aggettivi significhino) servono delle condizioni aggiuntive, come ad esempio qualche forma di convergenza uniforme. Ma è un discorso più avanzato, che sto citando solo per un antipasto divulgativo.

[ViciousGoblin]

Devo confessare che non ho ben capito le risposte e controrisposte che si sono succedute (quali sono i due esercizi ?? - in che punto stiamo facendo il limite ??)

Mi pare pero' di poter dare un contruibuto partendo dal problema iniziale.

Dunque la funzione era $f(x,y) =\log(\atan(xy))$. Notiamo che $f(x,y)=\log(\atan(g(x,y))$ dove
$g(x,y)=xy$ e notiamo che $g$ e' continua in tutti i punti di $RR^2$. E? chiaro che il dominio di $f$ e' dato da
$\atan(g(x,y))>0$ e cioe' $xy>0$ - il primo e terzo quadrante aperti - e quindi i punti di frontiera del dominio sono i due
assi.
Prendiamo allora un punto $(x_0,y_0)$ tale che uno dei due tra $x_0$ e $y_0$ sia zero. E' evidente che
$\lim_ {(x,y)\to(x_0,y_0)}g(x,y)=\lim_ {(x,y)\to(x_0,y_0)} (xy)=0^+$. Allora per un semplice teorema di composizione
$\lim_ {(x,y)\to(x_0,y_0)}\log(\atan(g(x,y)))=\lim_{t\to0^+}\log(\atan(t))=-\infty$.

Non mi pare che serva altro -- non ci sono forme indeterminate in questo caso come nell'esempio ben piu' delicato di
$\frac{x^2 y}{x^4+y^2}$.
E comunque confermo il dubbio di empires - NON BASTA ragionare sulle rette per fare un limite in $RR^2$

EDIT scivevo contemporaneamente a dissonance che mi ha preceduto riguardo all'ultimo punto

[enpires1]

quindi, per noi studenti di ingegneria (che sfortunatamente matematica la facciamo solo superficialmente), per dimostrazione dei limiti abbiamo praticamente solo il terorema dei carabinieri?

edit: Ho appena visto la risposta di vicious, grazie mille