Verifica limiti
Ciao a tutti!!
Dovrei trovare il limite di questa funzione negli estremi finiti del dominio.
la funzione è $f(x,y) = log [arctan (xy)]$
Dopo che ho trovato il dominio ($xy>0$ ovvero primo e terzo quadrante assi esclusi) ho provato a fare i limiti e li ho impostati così:
1) $lim_(x->0) log [arctan (xy)] = -\infty$
2) $lim_(y->0) log [arctan (xy)] = -\infty$
Quindi ho supposto che il limite fosse quello... ma mi sembra un pò riduttivo restringermi a solo queste due rette... quindi come posso fare?? devo usare qualche teorema tipo quello dei carabinieri?
EDIT:
Visto che nessuno ha ancora risposto ne approfitto per aggiungerne un altro (in cui ho usato il teorema dei carabinieri)... purtroppo il mio libro non ha soluzioni
$lim_((x,y)->(0,0)) (xy)/(x+y)$ definito su $D = {(x,y) in RR^2 : x>0, y>0}$
ho supposto che la funzione $(xy)/(-x)$ sia sempre più piccola della funzione data (in quanto questa sempre negativa e quella data sempre positiva), mentre la funzione $(xy)/x$ sia sempre più grande (in quanto ha denominatore minore della funzione data). quindi (semplificando dalle due nuove funzioni le $x$ di troppo) ottengo
$-y <= (xy)/(x+y) <= y$ che, quando $(x,y)->(0,0)$ mi dicono che
$0<= (xy)/(x+y) <= 0$ per $(x,y)->(0,0)$ quindi il limite è $0$
Dovrei trovare il limite di questa funzione negli estremi finiti del dominio.
la funzione è $f(x,y) = log [arctan (xy)]$
Dopo che ho trovato il dominio ($xy>0$ ovvero primo e terzo quadrante assi esclusi) ho provato a fare i limiti e li ho impostati così:
1) $lim_(x->0) log [arctan (xy)] = -\infty$
2) $lim_(y->0) log [arctan (xy)] = -\infty$
Quindi ho supposto che il limite fosse quello... ma mi sembra un pò riduttivo restringermi a solo queste due rette... quindi come posso fare?? devo usare qualche teorema tipo quello dei carabinieri?
EDIT:
Visto che nessuno ha ancora risposto ne approfitto per aggiungerne un altro (in cui ho usato il teorema dei carabinieri)... purtroppo il mio libro non ha soluzioni

$lim_((x,y)->(0,0)) (xy)/(x+y)$ definito su $D = {(x,y) in RR^2 : x>0, y>0}$
ho supposto che la funzione $(xy)/(-x)$ sia sempre più piccola della funzione data (in quanto questa sempre negativa e quella data sempre positiva), mentre la funzione $(xy)/x$ sia sempre più grande (in quanto ha denominatore minore della funzione data). quindi (semplificando dalle due nuove funzioni le $x$ di troppo) ottengo
$-y <= (xy)/(x+y) <= y$ che, quando $(x,y)->(0,0)$ mi dicono che
$0<= (xy)/(x+y) <= 0$ per $(x,y)->(0,0)$ quindi il limite è $0$
Risposte
Per il primo: puoi provare a sostituire qualsiasi retta della forma $y=mx$ (rette per l'origine). Otterrai sempre lo steso valore del limite (che quindi non dipende dalla scelta della $m$, ovvero della direzione) e quindi puoi concludere che...
Per il secondo: non ho capito bene quello che hai fatto, ma mi pare che funzioni. Anche in questo caso, però, puoi provare il metodo precedentemente descritto.
Per il secondo: non ho capito bene quello che hai fatto, ma mi pare che funzioni. Anche in questo caso, però, puoi provare il metodo precedentemente descritto.
Ma basta utilizzare le rette? io ricordo questo esercizio in cui avvicinandoti tramite qualsiasi retta il limite era uguale, ma usando una parabola no.
$lim_((x,y)->(0,0)) (x^2y)/(x^4 + y^2)$
Sostituendo la generica retta passante per l'origine $y=mx$ ottengo
$lim_((x,y)->(0,0)) f(x,mx) = lim_((x,y)->(0,0)) (x^2 *mx)/(x^4 + m^2x^2) = lim_((x,y)->(0,0)) (mx)/(x^2 + m^2) = 0$
ma se provo ad avvicinarmi con la parabola $y=x^2$ ottengo
$lim_((x,y)->(0,0)) f(x,x^2) = lim_((x,y)->(0,0)) (x^4)/(x^4 + x^4) = 1/2$ e quindi il limite non esiste!
Da qui deducevo che non bastasse avvicinarsi con rette generiche per dimostrare un limite... Cado in errore?
$lim_((x,y)->(0,0)) (x^2y)/(x^4 + y^2)$
Sostituendo la generica retta passante per l'origine $y=mx$ ottengo
$lim_((x,y)->(0,0)) f(x,mx) = lim_((x,y)->(0,0)) (x^2 *mx)/(x^4 + m^2x^2) = lim_((x,y)->(0,0)) (mx)/(x^2 + m^2) = 0$
ma se provo ad avvicinarmi con la parabola $y=x^2$ ottengo
$lim_((x,y)->(0,0)) f(x,x^2) = lim_((x,y)->(0,0)) (x^4)/(x^4 + x^4) = 1/2$ e quindi il limite non esiste!
Da qui deducevo che non bastasse avvicinarsi con rette generiche per dimostrare un limite... Cado in errore?
Il secondo esercizio porta ad una considerazione immediata se $ x->0$ e $y->0$ il loro prodotto tende a 0 con ordine 2 mentre a denominatore $ x->0$ e $y->0$ hai la somma dei due che tnde a 0 con ordine 1 ovvero se metti valori piccoli di x e y ti ritrovi nella condizione $limite=0.00001/0.002$ che chiaramente tende a 0 se ci si avvicina al punto $x=0$ ,$y=0$ il procedimento usato da te va bene ma per me troppo macchinoso!
serpo50, si ti ringrazio l'avevo capito quello 
Quello che ora è il mio dubbio è se basti restringersi alle sole rette per verificare un limite

Quello che ora è il mio dubbio è se basti restringersi alle sole rette per verificare un limite
@ enpires: La risposta alla tua ultima domanda è in generale no, e un esempio te lo sei fatto da solo ($f(x, y)=(x^2y)/(x^4+y^2)$). Perché si possa passare da limiti "unidimensionali" a limiti "bidimensionali" (qualunque cosa questi due aggettivi significhino) servono delle condizioni aggiuntive, come ad esempio qualche forma di convergenza uniforme. Ma è un discorso più avanzato, che sto citando solo per un antipasto divulgativo.
Devo confessare che non ho ben capito le risposte e controrisposte che si sono succedute (quali sono i due esercizi ?? - in che punto stiamo facendo il limite ??)
Mi pare pero' di poter dare un contruibuto partendo dal problema iniziale.
Dunque la funzione era $f(x,y) =\log(\atan(xy))$. Notiamo che $f(x,y)=\log(\atan(g(x,y))$ dove
$g(x,y)=xy$ e notiamo che $g$ e' continua in tutti i punti di $RR^2$. E? chiaro che il dominio di $f$ e' dato da
$\atan(g(x,y))>0$ e cioe' $xy>0$ - il primo e terzo quadrante aperti - e quindi i punti di frontiera del dominio sono i due
assi.
Prendiamo allora un punto $(x_0,y_0)$ tale che uno dei due tra $x_0$ e $y_0$ sia zero. E' evidente che
$\lim_ {(x,y)\to(x_0,y_0)}g(x,y)=\lim_ {(x,y)\to(x_0,y_0)} (xy)=0^+$. Allora per un semplice teorema di composizione
$\lim_ {(x,y)\to(x_0,y_0)}\log(\atan(g(x,y)))=\lim_{t\to0^+}\log(\atan(t))=-\infty$.
Non mi pare che serva altro -- non ci sono forme indeterminate in questo caso come nell'esempio ben piu' delicato di
$\frac{x^2 y}{x^4+y^2}$.
E comunque confermo il dubbio di empires - NON BASTA ragionare sulle rette per fare un limite in $RR^2$
EDIT scivevo contemporaneamente a dissonance che mi ha preceduto riguardo all'ultimo punto
Mi pare pero' di poter dare un contruibuto partendo dal problema iniziale.
Dunque la funzione era $f(x,y) =\log(\atan(xy))$. Notiamo che $f(x,y)=\log(\atan(g(x,y))$ dove
$g(x,y)=xy$ e notiamo che $g$ e' continua in tutti i punti di $RR^2$. E? chiaro che il dominio di $f$ e' dato da
$\atan(g(x,y))>0$ e cioe' $xy>0$ - il primo e terzo quadrante aperti - e quindi i punti di frontiera del dominio sono i due
assi.
Prendiamo allora un punto $(x_0,y_0)$ tale che uno dei due tra $x_0$ e $y_0$ sia zero. E' evidente che
$\lim_ {(x,y)\to(x_0,y_0)}g(x,y)=\lim_ {(x,y)\to(x_0,y_0)} (xy)=0^+$. Allora per un semplice teorema di composizione
$\lim_ {(x,y)\to(x_0,y_0)}\log(\atan(g(x,y)))=\lim_{t\to0^+}\log(\atan(t))=-\infty$.
Non mi pare che serva altro -- non ci sono forme indeterminate in questo caso come nell'esempio ben piu' delicato di
$\frac{x^2 y}{x^4+y^2}$.
E comunque confermo il dubbio di empires - NON BASTA ragionare sulle rette per fare un limite in $RR^2$
EDIT scivevo contemporaneamente a dissonance che mi ha preceduto riguardo all'ultimo punto
quindi, per noi studenti di ingegneria (che sfortunatamente matematica la facciamo solo superficialmente), per dimostrazione dei limiti abbiamo praticamente solo il terorema dei carabinieri?
edit: Ho appena visto la risposta di vicious, grazie mille
edit: Ho appena visto la risposta di vicious, grazie mille
