Verifica limite mediante la definizione

[Frasandro]

Buongiorno a tutti,

devo verificare il seguente limite: $ lim_(x -> 3) x/sqrt(x+6)=1 $;

Facendo qualche calcolo ottengo questa scrittura: $ |(xsqrt(x+6)-x-6)/(x+6)|< epsilon, epsilon >0 $

Adesso arrivato qui, devo risolvere il seguente sistema di disequazioni: $ { ( (xsqrt(x+6)-x-6)/(x+6)< epsilon),( (xsqrt(x+6)-x-6)/(x+6)> - epsilon ):} $ ??

Grazie....

[fhabbio]

perché ti sei andato ad impelagare in una razionalizzazione che non aiuta affatto anzi al contrario ti complica la vita!xD

prova a are così

$ { ( x/sqrt(x+6)-1< epsilon),(x/sqrt(x+6)-1> - epsilon ):} $

$ { ( x/sqrt(x+6)< 1+epsilon), (x/sqrt(x+6)> 1- epsilon ):} $

siccome siamo in un intorno di $3$ sufficientemente piccolo che ogni $x$ è diversa da $-6$ posso ricavare

$ { ( x< (1+epsilon)*sqrt(x+6)),(x> (1-epsilon)*sqrt(x+6) ):} $

elevando al quadrato primo e secondo membro si avrà

$ { ( x^2< (1+epsilon)^2*(x+6)),(x^2> (1-epsilon)^2*(x+6) ):} $

(occhio! questo è possibile sempre nella prima ma nella seconda $epsilon$ deve essere sufficientemente piccolo)

Comunque da qui va da sè

$ { ( x^2- (1+epsilon)^2*x- (1+epsilon)^2*6<0),(x^2- (1-epsilon)^2*x- (1-epsilon)^2*6> 0 ):} $

qui trovare le $x$ è molto più agevole

[Frasandro]

"fhabbio":

Comunque da qui va da sè

$ { ( x^2- (1+epsilon)^2*x- (1+epsilon)^2*6<0),(x^2- (1-epsilon)^2*x- (1-epsilon)^2*6> 0 ):} $

qui trovare le $x$ è molto più agevole

Innanzitutto, grazie per essere intervenuto.... arrivato qui.. sviluppo i quadrati e risolvo il sistema giusto? e ottengo
questo: $ { ( x^2 -x-epsilon^2x -2 epsilonx-6-6epsilon^2-12 epsilon <0 ),( x^2 -x-epsilon^2x +2 epsilonx-6-6epsilon^2+12 epsilon >0):} $

Ammesso che sia giusto, come devo continuare? Metto in evidenza qualcosa e faccio il delta per trovarmi le X?

[fhabbio]

nnuooo perchè sviluppi quei quadrati? suvvia! é roba da analisi 0,25 (per fare una citazione xD)

lascia tutto così com'è (per es. la prima eq.)

$x^2-(1+epsilon)^2*x-(1+epsilon)^2*6<0$

trovi il $Delta$ normalmente

$Delta=(1+epsilon)^4+24(1+epsilon)^2$ (se vuoi puoi raccogliere a fattore comune)

vediamo che $Delta$ è maggiore di $0$
allora per la prima la soluzione è

$x<((1-epsilon)^2-sqrt(Delta))/2$ e $x>((1-epsilon)^2+sqrt(Delta))/2

la seconda disequazione si risolve in maniera analoga.
Ora ti faccio una domanda

Sai qual è infine la soluzione di tutto il sistema?

[Frasandro]

ma le soluzioni della prima equazione non dovrebbero essere: $ x< ((1+epsilon)^2 - sqrtDelta)/2 vv x>((1+epsilon)^2 + sqrtDelta)/2 $ mi sembra che le tue soluzioni siano della seconda equazione... può essere oppure ho preso un abbaglio e sono sempre più nel pallone

La soluzione del sistema dovrebbe essere quella "comune" tra entrambe equazioni, ma non riesco a quantificarla...

[fhabbio]

hai ragione: ho sbagliato dovevo scrivere $((1+epsilon)^2 +- sqrtDelta)/2$ e invece ho usato il segno "$-$"! ma ho fatto un errore ben più grave...
per la prima disequazione bisogna prendere le soluzioni interne!!

$((1+epsilon)^2 - sqrtDelta)/2 < x<((1+epsilon)^2 + sqrtDelta)/2 $

per la seconda invece quelle esterne... qual è la soluzione quindi del sistema? ecco questa è una domanda mooolto interessante... perché se hai capito la definizione di limite vedrai cosa succede...

[Frasandro]

Ho provato a risolvere il sistema con valori numerici, fissato $ epsilon = 0,001 $ ho svolto i calcoli.

Per quanto riguarda la prima equazione, ottengo un \( \Delta \simeq 5 \) con soluzioni \( -2,5 < x < 3,5 \)

Per la seconda, ottengo un \( \Delta \simeq 4,99 \) con soluzioni \( x<-2,49 \vee x>3,49 \)

dal grafico segni le soluzioni comuni sono: $ ((1+epsilon)^2- sqrtDelta )/2
ci siamo?

[fhabbio]

Well...
Ok sulla soluzione del sistema. Hai ottenuto due intervalli ma quale di questi è un intorno di $3$ tale che presa una qualsiasi $x$ appartenente all'intorno si ottiene $abs(f(x)-l)
Hai fissato un determinato $epsilon$, bella iniziativa per cominciare a comprendere il significato di limite! Complimenti!

Tuttavia per quel fissato $epsilon$ non mi trovo con le tue soluzioni e d'altro canto dovevi accorgertene anche tu perché (per quel fissato $epsilon=0,001$ a te vengono due intervelli ovvero $-2,49
Comunque sia, hai capito tutto?
Non ti fermare a comprende solo questo esempio; l'intenzione è quella di comprendere il significato di limite!

[Frasandro]

Grazie per l'aiuto

Ho rifatto i conti e mi verrebbe da dire che l'intorno completo di 3 è dato dalla soluzione $ ((1-epsilon)^2 + sqrt Delta )/2
Se finalmente sono arrivato alla soluzione esatta, passo ad altri 2 esercizi (sempre verifica del limite) che mi creano qualche grattacapo...

[fhabbio]

ottimo...
questo è stato un bell'esercizio per comprendere il significato di limite perché quella formulaccia di definizione di limite tradotto a parole significa che

Se si considera un intervallo sull'asse x a esso corrisponde un relativo intervallo sull'asse y, se restringendo quell'intervallo sull'asse x corrisponde un intervallo più piccolo sull'asse y allora il limite è verificato.

Nell'esercizio in questione erano due gli intervalli sull'asse x a cui corrispondeva un intorno di $1$, ma a noi interessava solo un intervallo specifico.

Continua a postare qui se hai problemi omologhi

[Frasandro]

$ lim_(x -> +- oo ) 1/x^2 = 0^+ $ in questo caso lo 0 lo devo "considerare"?

Cioè, risolvo questo sistema: $ { ( 1/x^2< epsilon ),( 1/x^2> - epsilon ):} $ , giusto?

[quantunquemente]

basta risolvere $1/x^2 < epsilon$,visto che la seconda disequazione è ovviamente sempre verificata

[Frasandro]

"quantunquemente":basta risolvere $1/x^2 < epsilon$,visto che la seconda disequazione è ovviamente sempre verificata

Risolto senza problemi, almeno questo....Grazie !!

In questo caso: $ lim_(x -> -oo ) (2x)/sqrt(x^2+1)=-2 $ posso procedere come nel primo esercizio.

Non razionalizzo ma procedo come prima ottenendo $ { ( x< (epsilon-2)/2 sqrt(x^2+1) ),( x>(-epsilon-2)/2 sqrt(x^2+1) ):} $

adesso continuo elevando al quadrato?

[quantunquemente]

io però penso che sia lecito almeno osservare che per $x rarr -infty$ si ha $(2x)/sqrt(x^2+1)=-2/sqrt(1+1/x^2) > -2$ e quindi ricondursi a risolvere solo

$-2/sqrt(1+1/x^2)+2
$sqrt(1+1/x^2)<2/(2-epsilon)$

[Frasandro]

"quantunquemente":io però penso che sia lecito almeno osservare che per $x rarr -infty$ si ha $(2x)/sqrt(x^2+1)=-2/sqrt(1+1/x^2) > -2$ e quindi ricondursi a risolvere solo

$-2/sqrt(1+1/x^2)+2
$sqrt(1+1/x^2)<2/(2-epsilon)$

Ti ringrazio per essere intervenuto ma c'è qualcosa che non mi è chiaro .

Per esempio, questo passaggio: $x rarr -infty$ si ha $(2x)/sqrt(x^2+1)=-2/sqrt(1+1/x^2) > -2$ ,
perchè al numeratore ti spunta quel $ - $ ? e di conseguenza il passaggio successivo mi risulta $ sqrt(1+1/x^2) < 2/(epsilon -2) $ inoltre, capovolgendo e portando la radice a numeratore... il verso della disequazione non dovrebbe cambiare

[quantunquemente]

ricorda che se $x<0$ si ha $sqrt(x^2)= -x$
di conseguenza
$(2x)/sqrt(1+x^2)=(2x)/sqrt(x^2(1+1/x^2))=(2x)/(-xsqrt(1+1/x^2))=-2/sqrt(1+1/x^2)$

quindi
$-2/sqrt(1+1/x^2)+2 $2/sqrt(1+1/x^2) >2-epsilon$
$sqrt(1+1/x^2)<2/(2-epsilon)$

[Frasandro]

cerco di ricapitolare, applico la definizione: $ |(2x)/(|x|sqrt(1+1/x^2))+2|
$ { ( (2x)/(xsqrt(1+1/x^2)) > -2-epsilon),((2x)/-(x sqrt(1+1/x^2 ))< -2+epsilon ):} $

se ho ben capito, ma ne dubito , tralascio lo studio della prima disequazione del sistema e mi dedico solo sulla seconda. In poche parole non capisco questo:

"quantunquemente":io però penso che sia lecito almeno osservare che per$ x rarr -infty $ si ha $ (2x)/sqrt(x^2+1)=-2/sqrt(1+1/x^2) > -2 $

scusate la mia ignoranza

[quantunquemente]

$sqrt(1+1/x^2) > 1$ e quindi quando si divide $-2$ per esso si ottiene un numero "meno negativo" di $-2$

[Frasandro]

adesso ci siamo, almeno spero

"quantunquemente":

$sqrt(1+1/x^2)<2/(2-epsilon)$

per risolvere questa disequazione, se elevo ambo i membri al quadrato... le cose non si complicano oppure è la strada giusta da seguire

[fhabbio]

sì in tal caso puoi tranquillamente elevare al quadrato (perché siamo certi che $epsilon$ è molto piccolo).

Devi cercare di capire che non sempre si possono elevare al quadrato ambo i membri in maniera spregiudicata.
Considera per esempio

$a>b$

fintantoché $a$ e $b$ sono numeri maggiori di zero, nessun problema.
Ma se per es. $b<0$ e $a>0$ allora posso ancora elevare al quadrato ambo i membri?

Non sempre!
Infatti se scrivo
$5>-6$ questo è vero
ma $25>36$ non è più vero...
Quindi la $b$ deve essere compresa tra $-a$ e $0$

Dopo questo excursus, non ti preoccupare se non riesci a pervenire agevolmente a forme come quella postata da quantuquemente... è questione di esperienza.
Fai tanta pratica e vedrai che non avrai problemi in esercizi di questo tipo.

e non dimenticare che $sqrt(x^2)=abs(x)={ ( x, se, x >=0),(-x, se, x<0):} $

[Frasandro]

sotto con un altro esercizio con la speranza che vada meglio.

$ lim_(x -> 1) (1-x)/(1-root(3)(x) )= 3 $

come primo passaggio razionalizzo ottenendo $ |root(3)(x) +root(3)(x^2 ) -2|< epsilon $ oppure mi conviene utilizzare qualche altro metodo?