Verifica limite di due variabili

[quirino2]

Salve,
ho questo problema, che credo di aver svolto, ma non sono sicurissimo del risultato

data [tex]f(x,y)=xye^(-x^2-y^2)[/tex] trovare il limite per [tex]x^2+y^2 \to +\infty[/tex]
ho ragionato come segue:
sono passato in coordinate polari
[tex]x=\rho\ cos \theta \\
y=\rho\ sin \theta[/tex]

così il mio limite dovrebbe essere diventato
[tex]{\lim_{\rho^2 \to +\infty}} \frac{\rho^2\ cos\theta\ sin\theta}{e^{\rho^2}}[/tex]

che, a mio parere, dovrebbe fare zero ... ma il pezzo di seno e coseno lo posso buttare via? dovrebbe essere qualcosa di limitato quindi penso di si, ma non ne sono sicurissimo ...

[dissonance]

Non basta che il limite esista per ogni $theta$ fissato. Deve esistere uniformemente rispetto a $theta$. Vedi qui :

https://www.matematicamente.it/forum/lim ... 71767.html

P.S.: Non scrivere $lim_{rho^2 \to +infty}$, è brutto. Meglio $lim_{rho \to infty}$. A tendere a qualcosa è sempre una variabile indipendente, per quanto scritture come questa si usino spesso. Ma se possiamo evitare, evitiamo.