Verifica limite con definizione

[claudia.lodani]

Buongiorno a tutti ragazzi, sto cercando di capire come si verifica un certo limite con la definizione di limite.
Ora il mio limite con n tendente a infinito è $(n+1)/(3*n^2)$ . Seguendo la definizione di limite, pongo |$(n+1)/(3*n^2)$|< $epsilon$. Ora dovrei eliminare il valore assoluto sia sopra che sotto, visto che sotto è una quantità positiva e pure sopra? Oppure sbaglio? E dovrei arrivare a avere $(3*n^2)/(n+1)$ > $1/epsilon$ però ora non so andare avanti

[adaBTTLS1]

Benvenuto/a nel forum.
Se lasci il modulo dovresti ricavare un intorno di $-oo$, un intorno completo di $-1$ e un intorno di $+oo$.
Se sai che il limite è per $n->+oo$, dallo studio del segno sai già che non può essere negativo, quindi puoi non usarlo (anche se c'è comunque una limitazione inferiore, cioè $0<(n+1)/(3*n^2) OK?

EDIT: scusa, ma si era bloccato il PC, e mi sono un po' distratta.
mi pare che a questo eri già arrivata...
dalla tua ultima disequazione devi portare tutto al primo membro e fare il minimo comune denominatore.
prova e facci sapere.
ciao

[claudia.lodani]

Mi ero dimenticato di aggiungere che io già sapevo che quel limite viene 0, quindi devo dimostrarlo come ho detto con la definizione di limite. Seguendo il tuo consiglio, mi ritrovo con $ ((3*n^2)* epsilon - n - 1)/((n+1)*epsilon) >0 $. Ora sapendo che $epsilon$ è >0 per definizione, il denominatore è sicuramente positivo. Prendendo in considerazione solo il numeratore ho che $(3*epsilon)*n^2-n-1>0$ ,ora come procedo?

[adaBTTLS1]

è una disequazione di secondo grado nell'incognita $n$: sai risolverla? (viene $Delta=1+12 epsilon$...)

[claudia.lodani]

Si quindi ottengo $n < (1-sqrt{1+12epsilon})/(6epsilon) $ e $n > (1+sqrt{1+12epsilon})/(6epsilon) $. Infine il mio M per cui vale che qualunque n>M per cui vale la definizione di limite è solo $n > (1+sqrt{1+12epsilon})/(6epsilon) $ ?

[adaBTTLS1]

sì. questo è il risultato.

[claudia.lodani]

Grazie per l'aiuto, sei stata molto gentile

[adaBTTLS1]

prego!