Verifica limite con definizione

[marcus1121]

Chiedo un vostro parere.

[gugo82]

Beh, è sbagliata già la prima riga.
Infatti scrivere \(\lim_n a_n=\pm \infty\) non significa alcunché.

Per il resto, il limite semplicemente non esiste, per via del teorema sulle successioni estratte.

[marcus1121]

Scusa Gugo82 intendevo $oo$....comunque il mio ragionamento vorrebbe far vedere, attraverso la definizione, che non si trova un $n$ che rappresenta intorno di $+oo$.
In questi casi, se ho sbagliato, come applico la definizione per dimostrarlo?
Grazie sempre

[gugo82]

"marcus112":Scusa Gugo82 intendevo $oo$...

Eh... Ma cosa vorrebbe dire, per te, \(\lim_n a_n=\infty\)?

[marcus1121]

$lim_(n->+oo)a_n=oo$
In tal caso la successione si dice divergente.
Si osservi che la succesione data ha termini di segno opposto e quindi non si può dire che diverge positivamente nè negativamente. In altre parole se è
$lim_(n->+oo)a_n=oo$, ma non è il nostro caso, può non essere vero che
$lim_(n->+oo)a_n=+oo$
e neppure che
$lim_(n->+oo)a_n=-oo$
Per esempio
$lim_(n->+oo)(-2)^n=oo$
In questo caso applicando la definizione ho trovato
$n>log_2M$

[gugo82]

"marcus112":$lim_(n->+oo)a_n=oo$
In tal caso la successione si dice divergente.

Non so dove tu abbia preso questa definizione, ma no, non è così.

Nell'uso corrente, si dice che una successione è:

[*:2vjvhiy6] positivamente divergente se \(\lim_n a_n =+\infty\),

[/*:m:2vjvhiy6]
[*:2vjvhiy6] negativamente divergente se \(\lim_n a_n=-\infty\),

[/*:m:2vjvhiy6]
[*:2vjvhiy6] divergente se vale una (ed una soltanto, a norma del teorema di unicità del limite) delle alternative precedenti.[/*:m:2vjvhiy6][/list:u:2vjvhiy6]

Questo gioco di distinguere tra positivamente divergente e negativamente divergente è dovuto alla struttura d'ordine di \(\mathbb{R}\) che, in soldoni ma molto rozzamente, ti consente di introdurre due "punti all'infinito", uno negativo ed un'altro positivo.
In altre strutture, ad esempio in \(\mathbb{C}\) o in \(\mathbb{R}^N\) con \(N\geq 2\), il concetto di successione divergente è introdotto in altro modo, simile a come hai fatto tu. Infatti si dice che una successione \((a_n)\subset \mathbb{C}\) o \(\subset \mathbb{R}^N\) è divergente se la successione dei moduli diverge positivamente come successione reale, ossia si pone:
\[
\lim_n a_n =\infty \quad \Leftrightarrow \quad \lim_n |a_n| =+\infty \; .
\]
(un altro modo di dirla è che in \(\mathbb{C}\) o \(\mathbb{R}^N\) sono divergenti tutte le successioni illimitate). Che il concetto di divergenza venga introdotto in altro modo è conseguenza del fatto che, sempre parlando rozzamente, non essendo né \(\mathbb{C}\) né \(\mathbb{R}^N\) ordinabili in un modo "decente", si può aggiungere solo un unico "punto all'infinito" il quale si ritiene raggiungibile in qualsiasi modo ci si allontani da un punto fissato (e.g., l'origine o lo zero).

Però, se vuoi definire il termine divergente nell'ultima accezione anche per \(N=1\), cioé anche in \(\mathbb{R}\), sei libero di farlo: basta avvertire i tuoi interlocutori.
In questo caso, puoi benissimo dire che:
\[
\lim_n n\ \cos (n\pi) =\infty
\]
poiché \(|n\cos(n\pi)| = n\) e tale successione di moduli è positivamente divergente.

[marcus1121]

Grazie