Verifica limite

[Bombo1]

Salve sto cercando di svolgere alcuni esercizi sulla verifica dei limiti tramite la definizione ma ho avuto alcuni problemi.

$1)$ $\lim_{x \to \-infty}(x+1)/(2x-3)=1/2$

il risultato è $x<(6\epsilon-5)/4\epsilon$
inizio applicando la definizione $|f(x)-c|<\epsilon$ svolgendo la doppia disequazione ottengo due risultati $x>(5+6\epsilon)/4\epsilon$ e $x<(6\epsilon-5)/4\epsilon$ tutto ok ma come mai scelgo la seconda?


$2)$ $\lim_{x \to \-infty}(e^((x-2)/(x+5)))=e$

risultato $x<(2+5ln(e+\epsilon))/(1-ln(\epsilon-e))$

non so come iniziare. non so come fare $|f(x)-c|<\epsilon$ in questo esercizio.

[Antimius]

1) Scegli la seconda perché stai verificando il limite a $-\infty$ e quindi cerchi un $k_{epsilon}>0$ tale che se $x < -k_{\epsilon}$ allora $|f(x) - l| < \epsilon$. Nel tuo caso $k_{\epsilon} = \frac{5-6\epsilon}{4} \epsilon$
Avresti invece preso l'altro valore per verificare il limite a $+\infty$.

2) Partiamo ad esempio da $e^{\frac{x-2}{x+5}}-e < \epsilon$, allora portando a destra $e$ e applicando il logaritmo naturale a entrambi i membri, otteni $$\frac{x-2}{x+5} < \ln (\epsilon + e)$$
Ora questa è una normale disequazione fratta in $x$ che puoi risolvere come hai fatto la precedente.
Per l'altra disequazione si procede in maniera analoga

[Bombo1]

"Antimius":1) Scegli la seconda perché stai verificando il limite a $-\infty$ e quindi cerchi un $k_{epsilon}>0$ tale che se $x < -k_{\epsilon}$ allora $|f(x) - l| < \epsilon$. Nel tuo caso $k_{\epsilon} = \frac{5-6\epsilon}{4} \epsilon$
Avresti invece preso l'altro valore per verificare il limite a $+\infty$.

2) Partiamo ad esempio da $e^{\frac{x-2}{x+5}}-e < \epsilon$, allora portando a destra $e$ e applicando il logaritmo naturale a entrambi i membri, otteni $$\frac{x-2}{x+5} < \ln (\epsilon + e)$$
Ora questa è una normale disequazione fratta in $x$ che puoi risolvere come hai fatto la precedente.
Per l'altra disequazione si procede in maniera analoga

ecco dove sbagliavo,avevo già intenzione di applicare il logaritmo naturale ma non portavo la $e$ a destra e quindi non riuscivo ad andare avanti grazie mille ora vediamo se ci riesco!