Verifica limite
Salve a tutti,
mi servirebbe sapere se questo limite esiste o meno utilizzando la definizione di limite:
$lim(x,y)->(0,0)(1/(x^2+y^2))$
non riesco a capire quando utilizzare la definizione di limite infinito e quando quella di finito non sapendo a priori il suo comportamento.Potreste darmi una mano...Grazie
mi servirebbe sapere se questo limite esiste o meno utilizzando la definizione di limite:
$lim(x,y)->(0,0)(1/(x^2+y^2))$
non riesco a capire quando utilizzare la definizione di limite infinito e quando quella di finito non sapendo a priori il suo comportamento.Potreste darmi una mano...Grazie
Risposte
La definizione di limite è sempre la solita, anche in $RR^2$ (più precisamente, per funzioni $A\subseteq RR^2\to RR$):
\[\exists\lim_{\mathbf{x}\to \mathbf{x}_0} f(\mathbf{x})=L\in\overline{\mathbb{R}}\iff \forall V\in \mathscr{I}_L,\ \exists U\in\mathscr{I}_\mathbf{x_0}: \forall x\in U\cap A\setminus\{\mathbf{x}_0\},\ f(\mathbf{x})\in V \tag{1}\]
dove con $\mathcal{I}_{\text{qualcosa}}$ indico la famiglia degli intorni di $"qualcosa"$. Se $L$, come in questo caso, è $\pm\infty$, evidentemente la $(1)$ la si può riscrivere in questo modo (mettiamoci nel caso $L=+\infty$):
\[\exists\lim_{\mathbf{x}\to \mathbf{x}_0} f(\mathbf{x})=+\infty\iff \forall \varepsilon>0,\ \exists \delta>0: \forall \mathbf{x}\in A\setminus\{\mathbf{x}_0\},\ \Big[|\mathbf{x}-\mathbf{x}_0|<\delta \implies f(\mathbf{x})>\varepsilon\Big] \tag{2}\]
Vogliamo ora far vedere che la tua funzione (diamogli un nome...$f$?
) diverge positivamente per $\mathbf{x}=(x,y)\to (0,0)=: \mathbf{x}_0$. Fissato quindi un numero $epsilon >0$, dobbiamo trovare un $\delta>0$ per cui valga l'implicazione
\[|(x,y)-(0,0)|<\delta \implies f(x,y)>\varepsilon \]
cioè
\[\sqrt{x^2+y^2}<\delta\implies f(x,y)>\varepsilon\]
Le cose da fare sono fondamentalmente due: o individui questo $\delta$ "a occhio", o fai vedere che l'insieme $S$ delle soluzioni della disequazione $f(x,y)>\epsilon$ contiene un palla di centro $(0,0)$ e raggio $\delta$. In questa situazione il $\delta$ lo si individua subito, lascio a te l'onore
\[\exists\lim_{\mathbf{x}\to \mathbf{x}_0} f(\mathbf{x})=L\in\overline{\mathbb{R}}\iff \forall V\in \mathscr{I}_L,\ \exists U\in\mathscr{I}_\mathbf{x_0}: \forall x\in U\cap A\setminus\{\mathbf{x}_0\},\ f(\mathbf{x})\in V \tag{1}\]
dove con $\mathcal{I}_{\text{qualcosa}}$ indico la famiglia degli intorni di $"qualcosa"$. Se $L$, come in questo caso, è $\pm\infty$, evidentemente la $(1)$ la si può riscrivere in questo modo (mettiamoci nel caso $L=+\infty$):
\[\exists\lim_{\mathbf{x}\to \mathbf{x}_0} f(\mathbf{x})=+\infty\iff \forall \varepsilon>0,\ \exists \delta>0: \forall \mathbf{x}\in A\setminus\{\mathbf{x}_0\},\ \Big[|\mathbf{x}-\mathbf{x}_0|<\delta \implies f(\mathbf{x})>\varepsilon\Big] \tag{2}\]
Vogliamo ora far vedere che la tua funzione (diamogli un nome...$f$?
) diverge positivamente per $\mathbf{x}=(x,y)\to (0,0)=: \mathbf{x}_0$. Fissato quindi un numero $epsilon >0$, dobbiamo trovare un $\delta>0$ per cui valga l'implicazione\[|(x,y)-(0,0)|<\delta \implies f(x,y)>\varepsilon \]
cioè
\[\sqrt{x^2+y^2}<\delta\implies f(x,y)>\varepsilon\]
Le cose da fare sono fondamentalmente due: o individui questo $\delta$ "a occhio", o fai vedere che l'insieme $S$ delle soluzioni della disequazione $f(x,y)>\epsilon$ contiene un palla di centro $(0,0)$ e raggio $\delta$. In questa situazione il $\delta$ lo si individua subito, lascio a te l'onore
Potremmo scegliere $\delta=x^2+y^2$ ?
No. $\delta$ (come pure $\epsilon$) è una costante. In particolare $\delta$ è una costante (un numero insomma...) che dipende $\epsilon$. In altre parole, al variare di $\epsilon$, il $\delta$ che ti fa quel lavoretto lì varia anch'esso - in generale.
$1/(x^2+y^2)>M$
$x^2+y^2<1/M$
$1/M>1/\delta^2$
$\delta>M , delta<-M$
Potrebbe andare qualcosa del genere??Non ho altre idee....
$x^2+y^2<1/M$
$1/M>1/\delta^2$
$\delta>M , delta<-M$
Potrebbe andare qualcosa del genere??Non ho altre idee....
Non ci ho capito granché ad essere sincero...in ogni caso, prova a porre, una volta fissato $\epsilon>0$ (o $M$ se preferisci), $\delta :=1/\sqrt{\epsilon}$ e vedi se la macchinetta funziona
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