Verifica integrale improprio
$ int_(-1)^(1) 3/(1-x^2)^(1/2) dx $
Devo verificare se l'integrale esiste in senso generalizzato.
Osservo le discontinuità in x=1 e x=-1
Faccio il limite di quella roba per x->1. È chiaro che ne esce fuori infinito. Tuttavia devo vedere con quale grado la funzione tende a infinito.
Svolgo il limite così (ed è qui che molto probabilmente sbaglio): 1-x^2 tende a 0 come un t^2 per t->0. A causa della radice diventa di primo grado il denominatore e quindi mi uscirebbe 3/t con t->0.
Poiché il grado del denominatore non è compreso tra 0 e 1 ma è pari a 1 ne deduco che l'integrale generalizzato non esista. Tuttavia, nelle soluzioni l'integrale esiste eccome.
Grazie delle eventuali risposte
Devo verificare se l'integrale esiste in senso generalizzato.
Osservo le discontinuità in x=1 e x=-1
Faccio il limite di quella roba per x->1. È chiaro che ne esce fuori infinito. Tuttavia devo vedere con quale grado la funzione tende a infinito.
Svolgo il limite così (ed è qui che molto probabilmente sbaglio): 1-x^2 tende a 0 come un t^2 per t->0. A causa della radice diventa di primo grado il denominatore e quindi mi uscirebbe 3/t con t->0.
Poiché il grado del denominatore non è compreso tra 0 e 1 ma è pari a 1 ne deduco che l'integrale generalizzato non esista. Tuttavia, nelle soluzioni l'integrale esiste eccome.
Grazie delle eventuali risposte
Risposte
ciao 
$int 1/(x-\alpha)^(\beta) dx$, $\alpha, \beta ∈ ℝ$
in un intorno di $\alpha$, l'integrale risulta convergente per $\beta < 1$
nel caso proposto $\beta = 1/2 < 1$, agli estremi dell'intervallo di integrazione dunque l'integrale risulta convergente
$int 1/(x-\alpha)^(\beta) dx$, $\alpha, \beta ∈ ℝ$
in un intorno di $\alpha$, l'integrale risulta convergente per $\beta < 1$
nel caso proposto $\beta = 1/2 < 1$, agli estremi dell'intervallo di integrazione dunque l'integrale risulta convergente
Quindi la x elevata al quadrato non ha alcuna importanza? Devo considerarla come una x normale? E inoltre, il mio limite è sbagliato vero?(Intendo il grado con cui va ad infinito)
ci vorrebbe un ripasso di teoria..
condizione fondamentale perchè una funzione sia integrabile su un certo intervallo è che ivi sia continua.
qui la continuità viene a mancare in $ ±1 $: sono questi gli intorni in cui verificare se l'integrale, nonostante l'integranda esploda, esiste o meno.
quindi lo studio che hai svolto (solo del denominatore?) in un intorno di $0$ non serve. gli intorni "caldi" sono $±1$.
edit: ripensadoci, forse ho capito ciò che intendevi... a noi interessa solo sapere che il denominatore è infinitesimo e qual'è il suo esponente $\beta$, il suo ordine di infinitesimo è ininfluente..
condizione fondamentale perchè una funzione sia integrabile su un certo intervallo è che ivi sia continua.
qui la continuità viene a mancare in $ ±1 $: sono questi gli intorni in cui verificare se l'integrale, nonostante l'integranda esploda, esiste o meno.
quindi lo studio che hai svolto (solo del denominatore?) in un intorno di $0$ non serve. gli intorni "caldi" sono $±1$.
edit: ripensadoci, forse ho capito ciò che intendevi... a noi interessa solo sapere che il denominatore è infinitesimo e qual'è il suo esponente $\beta$, il suo ordine di infinitesimo è ininfluente..
Io userei il fatto che $ int 1/sqrt(1-x^2) dx = arcsenx $.
$3 arcsin 1 - 3 arcsin (-1) = 3/2pi-(-3/2 pi )= 3pi$
Dubbio: se scegliessi p. es.$ arcsin (-1)=3/4pi$ , l'integrale convergerebbe a $-3/4 pi$, mentre nel calcolo precedente era $3pi$. Come scegliere il valore dell'arcoseno?
$3 arcsin 1 - 3 arcsin (-1) = 3/2pi-(-3/2 pi )= 3pi$
Dubbio: se scegliessi p. es.$ arcsin (-1)=3/4pi$ , l'integrale convergerebbe a $-3/4 pi$, mentre nel calcolo precedente era $3pi$. Come scegliere il valore dell'arcoseno?
$arc sin (-1) \ne 3/4 \pi$
"Suv":
$ arc sin (-1) \ne 3/4 \pi $
Me ne vado a letto, va'
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