Verifica integrale doppio
Salve ragazzi,ho eseguito questo integrale doppio,potrei sapere se è corretto?soprattutto se sono corretti gli estremi di integrazione?
(Ho provato ad inserire la foto caricandola qui,ma la dimensione del file è superiore al limite consentito,e avendo il pc rotto,non ho potuto modificarla in modo da comprimerla..tramite ipad sono riuscito a inserirlo su dropbox,spero non vi arrabbiate) ps grazie per l'aiuto!
https://www.dropbox.com/s/9ic6mcjmlr461 ... 0%2050.jpg
(Ho provato ad inserire la foto caricandola qui,ma la dimensione del file è superiore al limite consentito,e avendo il pc rotto,non ho potuto modificarla in modo da comprimerla..tramite ipad sono riuscito a inserirlo su dropbox,spero non vi arrabbiate) ps grazie per l'aiuto!
https://www.dropbox.com/s/9ic6mcjmlr461 ... 0%2050.jpg
Risposte
Le limitazioni per il dominio che trovi sono errate: per prima cosa deve essere $\theta\in[0,\pi/2]$ (lo vedi benissimo dalla figura). Poi va bene che $\rho\le 2$, ma come puoi osservare da te esso è limitato inferiormente dai punti della retta. Pertanto dovrai imporre una limitazione inferiore per cui $\rho\ge f(\theta)$.
Ringraziandoti per la rapida risposta,quindi $\theta$ compreso tra 0 e $\pi/2$, mentre $\rho$ compreso tra x+y e 2,giusto? Sono alle prime armi con gli integrali doppi,come mai l'angolo non è quello che ho scritto io? Per arrivarci ho considerato l'angolazione tra l'asse delle x e la retta tangente...mentre tu se non sbaglio,penso di aver capito che hai inteso il radiante entro il quale è disegnata la retta,giusto? Con questi nuovi estremi,mi conviene ancora ragionare in coordinate polari?
Non puoi esprimere le limitazioni di $\rho$ in temrini di $x,y$. Per scrivere quella corretta, puoi sostituire le coordinate polari nell'equazione della retta, avendo
$$\rho\cos\theta+\rho\sin\theta\ge 2$$
e quindi
$$\rho\ge\frac{2}{\cos\theta+\sin\theta}$$
$$\rho\cos\theta+\rho\sin\theta\ge 2$$
e quindi
$$\rho\ge\frac{2}{\cos\theta+\sin\theta}$$
"ciampax":giustamente..non ci ho pensato...per gli estremi entro cui è compreso $\theta $ è giusto il ragionamento che ho fatto?
Non puoi esprimere le limitazioni di $ \rho $ in temrini di $ x,y $. Per scrivere quella corretta, puoi sostituire le coordinate polari nell'equazione della retta, avendo
\[ \rho\cos\theta+\rho\sin\theta\ge 2 \]
e quindi
\[ \rho\ge\frac{2}{\cos\theta+\sin\theta} \]
Sinceramente non ho ben capito che ragionamento hai fatto per $\theta$: è molto più semplice guardare la figura, in questo caso, dalla quale ti accorgi che devi percorrere tutto un arco di circonferenza compreso tra i due punti di intersezione tra retta e circonferenza stessa.
Grazie!:)
Chiedo di nuovo scusa per il disturbo..ma adesso mi trovo in difficoltà nello svolgimento del l'integrale con gli estremi di integrazione 2/cos$\theta$ +sen $\theta$..cioè mi ritrovo un integrale compreso tra 0 e $\pi$/2 di 2/cos $\theta$ + sen$\theta$... Ho sbagliato qualcosa per caso?
No, è esattamente quello che devi calcolare. Non hai idea di come procedere?
Ehm.....esattamente...
Vediamo, l'integrale da calcolare risulta
$$I=\int_0^{\pi/2}\left(2-\frac{2}{\cos\theta+\sin\theta}\right)\ d\theta=2\left[\int_0^{\pi/2} d\theta-\int_0^{\pi/2}\frac{1}{\cos\theta+\sin\theta}\ d\theta\right]=\pi-2\int_0^{\pi/2}\frac{1}{\cos\theta+\sin\theta}\ d\theta$$
Un possibile metodo è quello di operare il seguente cambio di variabili
$$\cos\theta=\frac{1-t^2}{1+t^2},\quad \sin\theta=\frac{2t}{1+t^2},\qquad t=\tan\frac{\theta}{2}$$
osservando che si ha pure
$$d\theta=\frac{2}{1+t^2}\ dt,\qquad \theta=0\to t=0,\quad \theta=\pi/2\to t=1$$
Pertanto
$$I=\pi-2\int_0^1\frac{1+t^2}{1-t^2+2t}\cdot\frac{2}{1+t^2}\ dt=\pi-4\int_0^1\frac{1}{1-t^2+2t}\ dt$$
A questo punto dovresti essere in grado di calcolare ciò che rimane usando le regole di integrazione delle funzioni razionali fratte.
$$I=\int_0^{\pi/2}\left(2-\frac{2}{\cos\theta+\sin\theta}\right)\ d\theta=2\left[\int_0^{\pi/2} d\theta-\int_0^{\pi/2}\frac{1}{\cos\theta+\sin\theta}\ d\theta\right]=\pi-2\int_0^{\pi/2}\frac{1}{\cos\theta+\sin\theta}\ d\theta$$
Un possibile metodo è quello di operare il seguente cambio di variabili
$$\cos\theta=\frac{1-t^2}{1+t^2},\quad \sin\theta=\frac{2t}{1+t^2},\qquad t=\tan\frac{\theta}{2}$$
osservando che si ha pure
$$d\theta=\frac{2}{1+t^2}\ dt,\qquad \theta=0\to t=0,\quad \theta=\pi/2\to t=1$$
Pertanto
$$I=\pi-2\int_0^1\frac{1+t^2}{1-t^2+2t}\cdot\frac{2}{1+t^2}\ dt=\pi-4\int_0^1\frac{1}{1-t^2+2t}\ dt$$
A questo punto dovresti essere in grado di calcolare ciò che rimane usando le regole di integrazione delle funzioni razionali fratte.
Grazie mille davvero...
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