Verifica integrale

[mobley]

Buon pomeriggio a tutti, sto trovando alcune difficoltà nel passare da:

$A(t,T):=-a\gamma\int_(t)^(T)(2(e^(h(T-s))-1))/(2h+(a+h)(e^(h(T-s))-1))ds$ a $-(2a\gamma)/\sigma^2ln[(2he^((a+h)/2(T-t)))/(2h+(a+h)(e^(h(T-s))-1))]$

Avete qualche hint? Andando di sostituzione non ne arrivo a capo

[pilloeffe]

Ciao mobley,

Partirei con qualche rielaborazione sulla funzione integranda:

$ A(t,T) := -a\gamma \int_(t)^(T)(2(e^(h(T-s))-1))/(2h+(a+h)(e^(h(T-s))-1))\text{d}s = -2a\gamma \int_(t)^(T)(e^(h(T-s))-1)/(2h+(a+h)(e^(h(T-s))-1)) \text{d}s = $
$ = -(2a\gamma)/(h(a + h)) \int_(t)^(T)(h(a + h)e^(h(T-s))-h(a + h))/(2h+(a+h)(e^(h(T-s))-1))\text{d}s = $
$ = (2a\gamma)/(h(a + h)) \int_(t)^(T) - (h(a + h)e^(h(T-s)))/(2h+(a+h)(e^(h(T-s))-1))\text{d}s + 2a\gamma \int_(t)^(T) (\text{d}s)/(2h+(a+h)(e^(h(T-s))-1)) = $
$ = (2a\gamma)/(h(a + h)) \int_(t)^(T) \text{d}/(\text{d}s){ln[2h+(a+h)(e^(h(T-s))-1)]} \text{d}s + 2a\gamma \int_(t)^(T) (\text{d}s)/(2h+(a+h)(e^(h(T-s))-1)) $

L'ultimo integrale scritto mi sembra un po' più gestibile e puoi provare a risolverlo ponendo $ u := e^(h(T-s)) \implies \text{d}u = - h e^(h(T-s)) \text{d}s = - h u \text{d}s $
Com'è definito $\sigma^2 $ ?

[mobley]

Grazie mille per la risposta pilloeffe! Allora… di per sé $ \sigma\inRR^+ $ ma so che $2\sigma^2:=h^2-a^2$.
Tutto nasce dal sistema $ { ( dotA(t,T)-a\gammaB(t,T)=0 ),( dotB(t,T)-aB(t,T)-\sigma^2/2(B(t,T))^2=0 ):} $ con condizioni al contorno rispettivamente $A(T,T):=0$ e $B(T,T):=0$. Per Riccati ottengo$B(t,T)=(2(e^(h(T-t))-1))/(2h+(a+h)(e^(h(T-t))-1)$, quindi rimane da esplicitare $A(t,T)$.

[pilloeffe]

"mobley":Grazie mille per la risposta pilloeffe!

Prego!

"mobley":so che $ 2\sigma^2 := h^2−a^2 $

Bene, quindi da questa informazione si deduce che $ 2\sigma^2 = (h + a)(h - a) \implies h < - a \vv h > a $ e siccome $h $ e $a $ dovrebbero essere quantità positive allora $h > a $

"mobley": $ -(2a\gamma)/\sigma^2ln[(2he^((a+h)/2(T-t)))/(2h+(a+h)(e^(h(T-s))-1))] $

Sicuro di questo risultato? Perché vedo già un errore, al denominatore non ci può essere una $s $, ci deve essere una $t $:
$ A(t, T) = -(2a\gamma)/\sigma^2ln[(2he^((a+h)/2(T-t)))/(2h+(a+h)(e^(h(T-t))-1))] $
Poi dalla prima equazione del sistema che hai scritto nel secondo post si ha $ A(t, T) = a\gamma \int_t^T B(s, T) \text{d}s $
Ora non ho molto tempo, ma proseguendo da quanto ti ho scritto nel post precedente dovrebbe essere possibile ottenere il risultato calcolando il secondo integrale che è un po' meno rognoso...
Hai provato?

[mobley]

No, non ho provato. Ora mi studio per bene la tua risposta.
Il problema è che ho trovato un errore (#!%&"£) che il docente ha fatto nella spiegazione e che fa saltare ogni cosa. Ti pregherei quindi, se hai modo, di dargli un'occhiata. Tutto sta in un maledettissimo segno.
Data l'equazione di Riccati $ dot(B)(t,T)-aB(t,T)-(\sigma^2)/2(B(t,T))^2-1=0 $, mediante la funzione $y(x):=exp{(\sigma^2)/2\int_(t)^(T)B(s,T)ds}$ mi riconduco all'ODE $2y''-2ay'-\sigma^2y=0$ le cui soluzioni (per $h:=\sqrt(a^2+2\sigma^2)$) sono $ \lambda_(1,2)=(a+-h)/2 $. Dato $B(t,T)=-2/(\sigma^2) (y'(t))/(y(t))$, ponendo $\lambda_(1):=x_1=(a+h)/2$ e $\lambda_(2):=x_2=(a-h)/2$ ho $y=c_1e^(x_1t)+c_2e^(x_2t)$ e $y'=x_1c_1e^(x_1t)+x_2c_2e^(x_2t)$. Dato poi $\tau=(T-t)$ ho:

$B(\tau)=-2/(\sigma^2)(x_1c_1e^(x_1\tau)+x_2c_2e^(x_2\tau))/(c_1e^(x_1\tau)+c_2e^(x_2\tau))$

Allo stesso modo, per la condizione al contorno $B(T,T):=0$ e dato $\tau=(T-T)=0$, ho:

$B(0)=-2/(\sigma^2)(x_1c_1+x_2c_2)/(c_1+c_2)$

Esplicitando quindi una delle due costanti dalla condizione al contorno e sostituendola in $B(\tau)$ ottengo :

$ B(\tau)=-2/(\sigma^2)(x_1x_2[e^((x_2-x_1)\tau)-1])/(x_1e^((x_2-x_1)\tau)-x_2) $

E fin qua ci siamo.

Ora il bordello. Io devo ottenere il $B(t,T)$ che ti ho scritto all'inizio.
Per farlo lui dice:
1) Io so che $x_1x_2=(a+h)/(2)\cdot(a-h)/(2)=1/4(a^2-h^2)$ (dove poi potrò scrivere $-(h^2-a^2)=-2\sigma^2$...). E ok.
2) Io so che $x_2-x_1=h$. Eh no, ovviamente ($-h$).
E questo fa saltare tutto. Avrei dovuto sostituire $h=x_2-x_1$, $x_1=(a+h)/(2)$ e $x_2=(a-h)/(2)$ così da ottenere $B(t,T)$ ma con ogni tipo di sostituzione, somma/sottrazione, moltiplicazione/prodotto ho sempre un segno meno all'esponente ($-h\tau$) o le parentesi invertite ($(a-h)[e^(h\tau)-1]$ anzichè $(a+h)$).
Il fatto è che anche http://www.dm.unibo.it/~pascucci/web/Didattica/EconMat/Castelletti.pdf (pag. 48) conferma la positività dei segni al denominatore e di $h$ agli esponenziali.


Non riesco a venire a capo

[pilloeffe]

Ci sono un po' di punti che non mi tornano in ciò che hai scritto, te li elenco così come mi vengono. Mi pare d'aver capito che $h = sqrt{a^2 + 2\sigma^2} $ corrisponde a $\gamma $ nella tesi di laurea di cui al link che mi hai postato, il che conferma che $h > a $ come avevo scritto in un post precedente, che poi nel caso della tesi linkata diventa $\gamma > a $.
Innanzitutto l'equazione di Riccati:

"mobley":$ dot(B)(t,T)-aB(t,T)-(\sigma^2)/2(B(t,T))^2-1=0 $

Ora, anche ammettendo che possa essere $ \alpha(t, T) = - a $, tale equazione è diversa da quella di Riccati (3.20) che compare a pagina 44:
$ B_t(t,T)+\alpha(t, T)B(t,T)-1/2\gamma(t)B^2(t,T) = - 1 $
non solo perché $\gamma = sqrt{a^2 + 2\sigma^2} $ mentre in quella che hai scritto compare $ sigma^2 $, ma anche perché in quest'ultima il $- 1 $ è al secondo membro dell'equazione e non al primo... Fra l'altro è comunque diversa da quella che hai scritto in uno dei post precedenti:

"mobley":$ dotB(t,T)-aB(t,T)-\sigma^2/2(B(t,T))^2=0 $

In quest'ultima il $- 1 $ scompare proprio...
Poi:

"mobley":mediante la funzione $ y(x):=exp{(\sigma^2)/2\int_(t)^(T)B(s,T)ds} $

Beh qui errore veniale, immagino intendessi $ y(t):=exp{(\sigma^2)/2\int_(t)^(T)B(s,T)\text{d}s} $
Il discorso che segue è chiaro, ma quello che non capisco è come hai fatto a determinare le due costanti $c_1 $ e $c_2 $, che infatti non compaiono nell'espressione finale di $B(\tau) $, con l'unica condizione al contorno $B(T,T) = 0 $: c'è qualche altra più o meno esplicita condizione al contorno che mi è sfuggita?

[mobley]

Grazie ancora per la tua risposta pilloeffe, davvero. Provo/iamo a chiarire ogni dubbio:
1) Ti do per certo che $h:=\sqrt(a^2+2\sigma^2)$. Ne segue che $h^2=a^2+2\sigma^2rArr2\sigma^2=h^2-a^2$.
2) Esattamente: nel link che ho allegato $\gamma=h$, ma in questo caso è solo una questione notazionale.
3) Per quanto riguarda l'equazione di Riccati ho fatto io un errore scrivendo un meno al posto di un più, E' vero. L'equazione corretta è $ dot(B)(t,T)-aB(t,T)-\sigma^2/2(B(t,T))^2+1=0 $, da cui il sistema di ODE:

$ { ( dot(A)(t,T)+a\gammaB(t,T)=0 ),( dot(B)(t,T)-aB(t,T)-\sigma^2/2(B(t,T))^2+1=0 ):} $

con boundary conditions rispettivamente $A(T,T)=0$ e $B(T,T)=0$.
4) Il fatto che al link del docente venga posto $\gamma$ anziché $\sigma^2$ è (diversamente dal punto 2) conseguenza del fatto che il modello che ora stiamo analizzando appartiene ad una particolare famiglia di modelli di mercato (c.d. modelli affini) che prevedono, da lemma, le seguenti due condizioni:
- una dinamica stocastica sotto la misura di neutralità al rischio $QQ$ per il tasso short pari a $dr_t=(\alpha_tr_t+\beta_t)dt+(\sqrt(\gamma_tr_t+\delta_t))dW_(t)^(QQ)$;
- un prezzo $P(t,T)=exp{A(t,T)-B(t,T)r_t}$, con $A(t,T)$ e $B(t,T)$ funzioni deterministiche che (sempre da lemma) soddisfano il seguente sistema:

$ { ( dot(A)(t,T)-\beta_tB(t,T)+1/2\delta^2(B(t,T))^2=0 ),( dot(B)(t,T)-\alpha_tB(t,T)-1/2\gamma^2(B(t,T))^2+1=0 ):} $

Ora, siccome il modello in analisi prevede per definizione dinamica del tasso pari a $dr_t=(a\gamma-ar_t)dt+\sigma\sqrt(r_t)dW_t^(QQ)$, dal confronto tra le due dinamiche emerge che $\alpha_t=-a$, $\beta_t=a\gamma$, $\gamma_t=\sigma^2$ e $\delta_t=0$. Ne segue quindi il primo sistema di ODE e il fatto che al posto di $gamma$ vi sia $\sigma^2$.
5) Di nuovo un errore di scrittura ( ): il $+1$ continua ovviamente ad esserci.
6) Le due costanti $c_1$ e $c_2$ le ho determinate partendo dal fatto che $y(t):=exp{\sigma^2/2\int_(t)^(T)B(s,T)ds}$. Svolgendo si ha $B(t,T)=-2/\sigma^2 (y')/(y)$, da cui segue che $dot(B)(t,T)=-2/\sigma^2 (y'')/(y)+2/\sigma^2(y')^2/(y^2) $. Sostituendo queste quantità in Riccati si ottiene un ODE ordinaria con soluzioni $\lambda_(1,2)=(a+-h)/2$, quindi fissato $\lambda_1=(a+h)/2:=x_1$ e $\lambda_2=(a-h)/2:=x_2$ si ha ovviamente che $y=c_1e^(x_1)t+c_2e^(x_2)t$ e che $y'=x_1c_1e^(x_1)t+x_2c_2e^(x_2)t$. Sostituendo queste quantità in $B(t,T)$ e relativa condizione al contorno $B(T,T)=0$ abbiamo:
a) $B(t,T):=B(\tau)$ (dove $\tau=T-t$) $=-2/\sigma^2 (x_1c_1e^(x_1\tau)+x_2c_2e^(x_2\tau))/((c_1e^(x_1\tau)+c_2e^(x_2\tau))$;
b) $B(T,T):=B(0)$ (dove $\tau=T-T=0$) $=-2/\sigma^2 (x_1c_1+x_2c_2)/((c_1+c_2)$.
Esplicito poi da $B(0)$ una delle due costanti in funzione dell'altra e la sostituisco in $B(\tau)$ per avere, in finale, che

$B(t,T)=-2/\sigma^2 (x_1x_2[e^((x_2-x_1)\tau)-1])/(x_1e^((x_2-x_1)\tau)-x_2)$

…e da qui i problemi. Dovrei sostituire $x_1x_2=1/4(a^2-h^2)$ e a $x_2-x_1=h$, ma questo banalmente non è possibile.

[pilloeffe]

"mobley":Grazie ancora per la tua risposta pilloeffe, davvero.

Prego, figurati, ormai è una specie di giallo: interessa anche a me scoprire chi è l'assassino...
Le due dinamiche che hai citato sono le seguenti:

$ dr_t=(\alpha_tr_t+\beta_t)dt+(\sqrt(\gamma_tr_t+\delta_t))dW_(t)^(QQ) $

$ dr_t=(a\gamma-ar_t)dt+\sigma\sqrt(r_t)dW_t^(QQ) $

Dal loro confronto deduco $\alpha_t = - a $, $\beta_t = a\gamma $, $\gamma_t=\sigma^2 $ e $\delta_t=0 $. Soprattutto però non mi torna l'ultima parte, quella sulle costanti, per cui ti riporto i miei conti. Partiamo da qui:

$B(t, T) = B(\tau) =-2/\sigma^2 (x_1c_1e^(x_1\tau)+x_2c_2e^(x_2\tau))/(c_1e^(x_1\tau)+c_2e^(x_2\tau)) $

ove $\tau = T - t$. Per la boundary condition $ B(T,T) = 0 $, si ha:

$0 = B(T,T) = B(0) = -2/\sigma^2 (x_1c_1+x_2c_2)/(c_1+c_2) \implies c_2x_2 = - c_1 x_1 \implies c_2 = - c_1 x_1/x_2 $

Sostituendo nell'espressione di $B(t, T) = B(\tau) $ si ha:

$ B(t, T) = B(\tau) = -2/\sigma^2 (x_1c_1e^(x_1\tau)-x_1c_1e^(x_2\tau))/(c_1e^(x_1\tau) - c_1 x_1/x_2 e^(x_2\tau)) = -2/\sigma^2 (x_1e^(x_1\tau)-x_1e^(x_2\tau))/(e^(x_1\tau) - x_1/x_2 e^(x_2\tau)) = -2/\sigma^2 (x_1x_2(e^(x_1\tau)-e^(x_2\tau)))/(x_2e^(x_1\tau) - x_1 e^(x_2\tau)) = $
$ = -2/(\sigma^2)(x_1x_2[e^((x_1 - x_2)\tau)-1])/(x_2e^((x_1-x_2)\tau)-x_1) $

Quest'ultima espressione è diversa da quella che hai scritto e soprattutto in essa compare $x_1 - x_2 = h $

[mobley]

Ok, tu hai scelto di esplicitare $c_2$ mentre il docente aveva optato per $c_1=-(x_2)/(x_1)c_2$. Avevo provato anch'io a cambiare la costante, perchè in effetti esplicitando $c_2$ si ottiene all'esponente proprio $x_1-x_2=h$. Tuttavia svolgendo i calcoli (cosa che ho provato a rifare) noterai che al denominatore c'è $(a-h)e^(h\tau)-(a+h)=(a-h)e^(h\tau)-(a+h-h-h)=(a-h)e^(h\tau)-(a+h)+2h$, mentre sia il docente che il link che ti ho inviato (il quale peraltro è lo scrittore al quale il docente si rifà) si trovano al denominatore con $(a+h)e^(h\tau)-(a+h)+2h=(a+h)[e^(h\tau)-1]+2h$.
Poi una volta trovato $B(t,T)$ lo dovremmo sostituire nella prima equazione per ricavare $A(t,T)=-a\gamma\int_(t)^(T)(2(e^(h(T-s))-1))/((a+h)(e^(h(T-s))-1)+2h)$ (dove $\tau=T-t$) e dà li (non si sa come) ottenere la soluzione logaritmica di cui al primo post.

[pilloeffe]

Hai ragione, e non se ne esce perché se si divide per $e^{(x_1 - x_2)\tau} $ il coefficiente diventa giusto, ma l'esponenziale diventa negativo...
A questo punto cercherei il problema prima, ad esempio nell'equazione differenziale $ 2y''-2ay'-\sigma^2y=0 $: sicuro che non sia invece

$ 2y''+2ay'-\sigma^2y=0 $

?

[mobley]

Guarda, ho rifatto con calma tutti i calcoli e non credo di aver fatto errori.
Dati $ B(t,T)=-2/\sigma^2(y')/(y) $ e $ dot(B)(t,T)=(\partialB(t,T))/(\partialt)=-2/\sigma^2(y''y-y'y')/(y^2)=-2/\sigma^2(y''y-(y')^2)/(y^2)=-2/\sigma^2(y''y)/(y^2)+2/\sigma^2((y')^2)/(y^2)=-2/\sigma^2(y'')/(y)+2/\sigma^2((y')^2)/(y^2) $

si ha:
$ dot(B)(t,T)-aB(t,T)-\sigma^2/2(B(t,T))^2-1=0rArr dot(B)(t,T)=aB(t,T)+\sigma^2/2+1rArr -2/\sigma^2(y'')/(y)+2/\sigma^2((y')^2)/(y)=a(-2/\sigma^2(y')/(y))+\sigma^2/2(-2/\sigma^2(y')/(y))^2-1rArr-2/\sigma^2(y'')/(y)+2/\sigma^2((y')^2)/(y)=-(2a)/\sigma^2(y')/(y)+\sigma^2/2(4)/(\sigma^4)((y')^2)/(y^2)-1rArr-2/\sigma^2(y'')/(y)+2/\sigma^2((y')^2)/(y)=-(2a)/\sigma^2(y')/(y)+2/\sigma^2((y')^2)/(y)-1rArr -2/\sigma^2(y'')/(y)=-(2a)/\sigma^2(y')/(y)-1rArr-2/\sigma^2(y'')/(y)+(2a)/\sigma^2(y')/(y)+1=0rArr(2y'')/(\sigma^2y)-(2ay')/(\sigma^2y)-1=0rArr2y''-2ay'-1=0 $

Allora:
$ 2\lambda^2-2a\lambda-\sigma^2=0rArr\lambda_(1,2)=(a+-\sqrt(a^2+2\sigma^2))/(2) $

Pongo $h:=\sqrt(a^2+2\sigma^2)$. Ne segue $lambda_(1,2)=(a+-h)/(2)$. Definisco le due soluzioni una $x_1$ e l'altra $x_2$, ad es. $\lambda_1=(a+h)/2:=x_1$ e $\lambda_2=(a-h)/2:=x_2$. Quindi la soluzione dell'ODE del 2° ordine è
$y=c_1e^(x_1t)+c_2e^(x_2t)$, da cui segue $y'=x_1c_1e^(x_1t)+x_2c_2e^(x_2t)$. Sostituendo in $B(t,T)$ con $\tau=T-t$ si ha che $B(\tau)=-2/\sigma^2(x_1c_1e^(x_1\tau)+x_2c_2e^(x_2\tau))/(c_1e^(x_1\tau)+c_2e^(x_2\tau))$. Analogamente in $B(T,T):=0$ con $\tau=T-T=0$ si ha che $B(0)=-2/\sigma^2(x_1c_1+x_2c_2)/(c_1+c_2)$. Esplicitando da $B(0)$ la costante $c_1=-(x_2)/(x_1)c_2$ e sostituendola in $B(\tau)$ si ottiene:
$B(\tau)=-2/\sigma^2 (x_1(-(x_2)/(x_1)c_2)e^(x_1\tau)+x_2c_2e^(x_2\tau))/((-x_2/x_1c_2)e^(x_1\tau)+c_2e^(x_2\tau))$.
Al numeratore semplifico gli $x_1$ e porto in evidenza $x_2c_2$. Al denominatore porto in evidenza $c_2$ e in parentesi faccio il m.c.m. Semplifico i due $c_2$ e moltiplico num. e denom. per $x_1$. Quindi porto in evidenza a num. e denom. $e^(x_1\tau)$ e li semplifico. Ottengo così $B(t,T)=B(\tau)=-2/\sigma^2(x_1x_2[e^((x_2-x_1)\tau)-1])/(x_1e^((x_2-x_1)\tau)-x_2)$.

Ora mi ritrovo a dover calcolare $x_1x_2$ e $x_2-x_1$ sfruttando $\lambda_(1,2)$ per ottenere il $B(t,T)$ come da link, ovvero $B(t,T)=(2(e^(h(T-t))-1))/(2h+(a+h)(e^(h(T-t))-1))$ (con $h=\gamma$ notazionale).

Non so dove sbattere la testa onestamente. Sto provando e riprovando ma non capisco. Ti metto anche il link del docente con il riassunto della lezione se può esserti utile ma noterai come anche qui (come ha fatto peraltro a lezione) abbia commesso gli stessi errori di calcolo (https://web.uniroma1.it/memotef/metodi- ... immacolata - PDF: prezzo ZCB nel modello CIR).

[pilloeffe]

Per me c'è un errore nelle equazioni differenziali di partenza, che sono:

$B_t(t, T) = \sigma^2/2 B^2(t, T) + aB(t, T) - 1$

$ A_t(t, T) = ab A(t, T) $

Nell'espressione di $A(t, T) $ della tesi che mi hai linkato c'è sicuramente un errore, manca un logaritmo.
L'espressione corretta è la seguente:

$ A(t, T) = (2ab)/\sigma^2 \cdot [log\frac{2\gamma e^{\frac{a + \gamma}{2}(T - t)}}{(a + \gamma)[e^{\gamma(T - t)} - 1] + 2\gamma}] $

ove $ \gamma = \sqrt{a^2 + 2\sigma^2} $

[mobley]

"pilloeffe":Per me c'è un errore nelle equazioni differenziali di partenza, che sono:

$B_t(t, T) = \sigma^2/2 B^2(t, T) + aB(t, T) - 1$

$ A_t(t, T) = ab A(t, T) $

Purtroppo no. La struttura dei modelli affini (Proposizione 3.5. (ATS), pag. 44 della tesi) è standard. In relazione ad essa, poi, si modellano $QQ$ dinamiche differenti per il tasso a breve dalle quale scaturisce la c.d. modellistica di Heath-Jarrow-Morton (in cui rientra il modello che stiamo considerando).
Come noterai, l'equazione per $B$ è

$dot(B)(t,T)+\alpha_tB(t,T)-\gamma_t/2(B(t,T))^2+1=0$ (3.20)

e l'equazione per $A$ è

$dot(A)(t,T)-\beta_tB(t,T)+\delta_t/2(B(t,T))^2=0$ (3.21)

Dato che nel nostro caso (come giustamente hai osservato tu)

"pilloeffe":Le due dinamiche che hai citato sono le seguenti:

$ dr_t=(\alpha_tr_t+\beta_t)dt+(\sqrt(\gamma_tr_t+\delta_t))dW_(t)^(QQ) $

$ dr_t=(a\gamma-ar_t)dt+\sigma\sqrt(r_t)dW_t^(QQ) $

Dal loro confronto deduco $ \alpha_t = - a $, $ \beta_t = a\gamma $, $ \gamma_t=\sigma^2 $ e $ \delta_t=0 $

risulta che:

$ { ( dot(A)(t,T)-a\gammaB(t,T)=0 ),( dot(B)(t,T)-aB(t,T) -\sigma^2/2(B(t,T))^2+1=0):} $

Poi, come già detto, posto $y(t):=exp{\sigma^2/2\int_(t)^(T)B(s,T)ds}$ si ha $B(t,T)=-2/\sigma^2(y')/(y)$ e $dot(B)(t,T)=-2/\sigma^2(y'')/(y)+2/\sigma^2((y')^2)/(y^2)$, che sostituiti in $dot(B)(t,T)$ restituiscono l'ODE $2y''-2ay'-\sigma^2y=0$.

[mobley]

Ho delle novità (per pilloeffe, visto che è sembrato interessato all'argomento, e per chiunque altro voglia aiutarmi).

Parlando col docente mi ha spiegato che non importa se l'esponenziale risulta positivo o negativo ($h$ oppure $-h$) perchè vale sempre $1-e^(-h\tau)=1-(1)/(e^(h\tau))=(e^(h\tau)-1)/e^(h\tau)$, tuttavia non ho granché capito come utilizzare questo principio nel calcolo di $B(t,T)$.
In ogni caso, tornando al motivo del topic, se è vero che non importa che vi sia $h$ oppure $-h$ (e quindi dato $ B(t,T)=(2(e^(-h(T-t))-1))/(2h+(a+h)(e^(-h(T-t))-1)) $) dovrei riuscire a dimostrare che:

$ A(t,T)=-2a\gamma\int_(t)^(T)(e^(-h(T-s))-1)/(2h+(a+h)(e^(-h(T-s))-1))dsrArr A(t,T)=-(2a\gamma)/\sigma^2ln[(2he^((a+h)/(2)(T-t)))/(2h+(a+h)(e^(h(T-t))-1))] $

[pilloeffe]

Forse ho capito il nodo della questione e se ce la faccio proverò a risponderti nel dettaglio, ma è un post un po' lungo che richiede tempo che al momento non ho...
Te la riassumo brevemente: ciò che ti ha detto la docente è parzialmente vero, nel senso che in realtà l'equazione di Riccati è risolvibile con un'altra posizione, proporzionale a quella che hai scritto per il tramite di una costante $ k $... Se ho capito bene si passerebbe dalla tua soluzione di $B(t, T) $ a quella riportata sulla tesi linkata facendo sì uso di quanto ti ha detto la docente, ma moltiplicando anche per una costante che salvo errori dovrebbe essere $k = \frac{a - h}{a + h} $

[mobley]

"pilloeffe":Forse ho capito il nodo della questione e se ce la faccio proverò a risponderti nel dettaglio, ma è un post un po' lungo che richiede tempo che al momento non ho...
Te la riassumo brevemente: ciò che ti ha detto la docente è parzialmente vero, nel senso che in realtà l'equazione di Riccati è risolvibile con un'altra posizione, proporzionale a quella che hai scritto per il tramite di una costante $ k $... Se ho capito bene si passerebbe dalla tua soluzione di $B(t, T) $ a quella riportata sulla tesi linkata facendo sì uso di quanto ti ha detto la docente, ma moltiplicando anche per una costante che salvo errori dovrebbe essere $k = \frac{a - h}{a + h} $

Che dire… Ho provato per giorni a cercare di dimostrarlo con la speranza di venire qui e risponderti che avevo risolto ma non ci arrivo. Da un lato ho una prima espressione per $A$ con gli esponenti negativi e dall'altro un espressione per $A$ con esponenti positivi. Ciononostante il denominatore resta lo stesso. Poi dici vai a lezione… vai a lezione… Che ci vai a fare se poi ti dicono ok questo dimostratelo voi o verificate voi il lemma o fate voi o calcolate voi