Verifica esistenza limite a due variabili

[und3rkevin]

Salve, sono uno studente che segue il corso di analisi 2 e sto studiando i limiti di funzioni in due variabili, nel particolare l'applicazione della definizione. Per alcune funzioni non ho trovato particolare difficoltà e riesco a trovare il $ delta $ ma non riesco a risolvere la seguente:

$ lim (x,y) -> (0,0) (x^4y^5)/(x^4+2y^2) $

Provando con il percorso $ x = 0, y = 0, y=mx $ trovo sempre che il limite risulta 0 e quindi o è 0 o non esiste.

Una mia prova è stata questa:


$ 0 <= (x^4)/(x^4+2y^2)y^5 <= y^5 $

Ma questo punto per il teorema dei carabinieri potrei dire che la mia funzione ha come limite 0?
È dimostrabile tramite definizione arrivando a $ x^2+y^2 < delta $?

Sto "carburando" adesso con analisi perché sono passato da un professionale a fare ingegneria quindi ho un po' di lacune ed a volte non sono così immediate alcune cose.
Vi ringrazio in anticipo.

[gugo82]

Si, la maggiorazione è giusta, solo che devi usare un valore assoluto $0<= | (x^4y^5)/(x^4+2y^2)| <= |y^5| = |y|^5$. Da qui concludi col teorema dei carabinieri.

Se, invece, vuoi verificare la definizione, puoi osservare che $|y|^5 = (y^2)^(5/2)<= (x^2+y^2)^(5/2)$, quindi basta prendere $delta = epsilon^(2/5)$.

[und3rkevin]

Grazie mille, dovrò abituarmi all'idea di "manipolare" in questo modo durante le maggiorazioni.