Verifica esercizio svolto sull'invertibilità di una funzione
Ciao a tutti! 
Mi sono imbattuto in questo esercizio di cui purtroppo non ho soluzione e volevo sapere se il mio metodo di risoluzione fosse quello giusto. L'esercizio è: Verificare che $ f(x) = x^2 -4x +9 $ non è invertibile. Individuare opportune restrizioni di f che siano invertibili e scrivere l'espressione delle loro inverse.
Allora per prima cosa mi sono calcolato il vertice della parabola che mi viene $ V(2;5) $ .
Ed ovviamente noto che non è iniettiva così considero solo la parte $ x>=2 $ ed in questo caso diventa iniettiva ma non suriettiva... quindi restringo il codominio a cdm[5,+infinito) e mi calcolo l'inversa in questo modo:
$ 5=x^2-4x+9 $
$ x^2-4x+4=0 $
$ sqrt(y)=sqrt((x-2)^2 $
$ sqrt(y)=x-2 $
$ x=sqrt(y)+2 $
Mi sono imbattuto in questo esercizio di cui purtroppo non ho soluzione e volevo sapere se il mio metodo di risoluzione fosse quello giusto. L'esercizio è: Verificare che $ f(x) = x^2 -4x +9 $ non è invertibile. Individuare opportune restrizioni di f che siano invertibili e scrivere l'espressione delle loro inverse.Allora per prima cosa mi sono calcolato il vertice della parabola che mi viene $ V(2;5) $ .
Ed ovviamente noto che non è iniettiva così considero solo la parte $ x>=2 $ ed in questo caso diventa iniettiva ma non suriettiva... quindi restringo il codominio a cdm[5,+infinito) e mi calcolo l'inversa in questo modo:
$ 5=x^2-4x+9 $
$ x^2-4x+4=0 $
$ sqrt(y)=sqrt((x-2)^2 $
$ sqrt(y)=x-2 $
$ x=sqrt(y)+2 $
Risposte
"Black Fox":
Allora per prima cosa mi sono calcolato il vertice della parabola che mi viene $ V(2;5) $ .
Ed ovviamente noto che non è iniettiva così considero solo la parte $ x>=2 $ ed in questo caso diventa iniettiva ma non suriettiva... quindi restringo il codominio a cdm[5,+infinito)
fino a qui va tutto bene, poi non capisco qui $ sqrt(y)=sqrt((x-2)^2 $ dove è finito il 5.
Da $ y=x^2-4x+9$ ottieni $y-5=x^2-4x+9-5$ che diventa $y-5=(x-2)^2$ cioè $sqrt(y-5)=|x-2|$, ma siccome consideri il caso $x>=2$ puoi togliere il modulo, quindi $x-2=sqrt(y-5)$ e, infine, $x=2+sqrt(y-5)$
"@melia":
[quote="Black Fox"]
Allora per prima cosa mi sono calcolato il vertice della parabola che mi viene $ V(2;5) $ .
Ed ovviamente noto che non è iniettiva così considero solo la parte $ x>=2 $ ed in questo caso diventa iniettiva ma non suriettiva... quindi restringo il codominio a cdm[5,+infinito)
fino a qui va tutto bene, poi non capisco qui $ sqrt(y)=sqrt((x-2)^2 $ dove è finito il 5.
Da $ y=x^2-4x+9$ ottieni $y-5=x^2-4x+9-5$ che diventa $y-5=(x-2)^2$ cioè $sqrt(y-5)=|x-2|$, ma siccome consideri il caso $x>=2$ puoi togliere il modulo, quindi $x-2=sqrt(y-5)$ e, infine, $x=2+sqrt(y-5)$[/quote]
Grazie mille molto gentile!
Mi rimane solamente un dubbio, avendo ristretto il codominio all'intervallo [5, +infinito] andiamo a sottrarre 5 ad entrambi i membri dell'equazione per portare la funzione originale in quel codominio giusto? Quindi se avessi un altra parabola e dovessi restringere il codominio in, ad esempio, [1; +infinito) andrei a sottrarre 1 ad entrambi i membri dell'equazione?
Perdona la domanda un po stupida
Sì
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