Verifica esercizio Radice cubica di un complesso
Ciao a tutti 
vorrei chiedervi se qualcuno può confermare il risultato di questo esercizio e se lo svolgimento è corretto.
Determinare le radici cubiche del numero complesso \(\displaystyle z=i (1-i)^{20} \)
per prima cosa cerco di semplificare l'equazione data e dopo i necessari passaggi giungere a:
\(\displaystyle z=-\text{i1024} \)
trovo così:
\(\displaystyle x=0 \)
\(\displaystyle y=-1024 \)
calcolo \(\displaystyle \theta \) e \(\displaystyle \rho \):
\(\displaystyle \rho =1024 \)
\(\displaystyle \theta =\frac{3 \pi }{2} \)
mediante la ben nota formula per il calcolo delle radice n-esime trovo le tre radici per k = 0, 1, 2:
\(\displaystyle z_0=i 8 \sqrt[3]{2} \)
\(\displaystyle z_1= -i 8 \sqrt[3]{2} \)
\(\displaystyle z_2= -i 8 \sqrt[3]{2} \)
quindi k=1 e k=2 è una soluzione di molteplicità algebrica 2. E' tutto corretto oppure ho sbagliato qualcosa? Siate pure pignoli, è per un'esame di Analisi.
Grazie in anticipo a tutti quanti
vorrei chiedervi se qualcuno può confermare il risultato di questo esercizio e se lo svolgimento è corretto.Determinare le radici cubiche del numero complesso \(\displaystyle z=i (1-i)^{20} \)
per prima cosa cerco di semplificare l'equazione data e dopo i necessari passaggi giungere a:
\(\displaystyle z=-\text{i1024} \)
trovo così:
\(\displaystyle x=0 \)
\(\displaystyle y=-1024 \)
calcolo \(\displaystyle \theta \) e \(\displaystyle \rho \):
\(\displaystyle \rho =1024 \)
\(\displaystyle \theta =\frac{3 \pi }{2} \)
mediante la ben nota formula per il calcolo delle radice n-esime trovo le tre radici per k = 0, 1, 2:
\(\displaystyle z_0=i 8 \sqrt[3]{2} \)
\(\displaystyle z_1= -i 8 \sqrt[3]{2} \)
\(\displaystyle z_2= -i 8 \sqrt[3]{2} \)
quindi k=1 e k=2 è una soluzione di molteplicità algebrica 2. E' tutto corretto oppure ho sbagliato qualcosa? Siate pure pignoli, è per un'esame di Analisi.
Grazie in anticipo a tutti quanti
Risposte
Ciao!
Fino alla determinazione di $r$ e $\theta$ non ci sono problemi; poi i conti non mi tornano più di tanto (ma potrei essere io che sono estremamente arrugginita su queste cose!
).
Tu hai sicuramente usato la formula:
$\alpha^{1/n}=\r^{1/n}(\cos(\frac{\theta +2k\pi}{n})+i\sin(\frac{\theta + 2k\pi}{n}))$,
quindi nel nostro caso:
$\alpha^{1/3}=\1024^{1/3}\(\cos(\frac{3/2*\pi+2k\pi}{3})+i\sin(\frac{\3/2pi+2k\pi}{3})$,
i) per $k=0$ mi viene un risultato identico al tuo,
ii) per $k=1$ mi viene: $\alpha_1=1024^(1/3) (cos(7\pi/6)+i sin(7\pi/6))$
infatti $\frac{3/2 \pi + 2\pi}{3}= \frac{7\pi}{6}$.
Quindi il risultato sarebbe: $\alpha_1=8 \cdot 2^(1/3) (-\sqrt(3)/2-i/2)$.
iii) per $k=2$ mi viene : per $k=2$ mi viene: $\alpha_1=1024^(1/3) (cos(11\pi/6)+i sin(11\pi/6))$
infatti $\frac{3/2 \pi + 4\pi}{3}= \frac{11\pi}{6}$.
Quindi il risultato sarebbe: $\alpha_1=8 \cdot 2^(1/3) (\sqrt(3)/2-i/2)$.
Fino alla determinazione di $r$ e $\theta$ non ci sono problemi; poi i conti non mi tornano più di tanto (ma potrei essere io che sono estremamente arrugginita su queste cose!
).Tu hai sicuramente usato la formula:
$\alpha^{1/n}=\r^{1/n}(\cos(\frac{\theta +2k\pi}{n})+i\sin(\frac{\theta + 2k\pi}{n}))$,
quindi nel nostro caso:
$\alpha^{1/3}=\1024^{1/3}\(\cos(\frac{3/2*\pi+2k\pi}{3})+i\sin(\frac{\3/2pi+2k\pi}{3})$,
i) per $k=0$ mi viene un risultato identico al tuo,
ii) per $k=1$ mi viene: $\alpha_1=1024^(1/3) (cos(7\pi/6)+i sin(7\pi/6))$
infatti $\frac{3/2 \pi + 2\pi}{3}= \frac{7\pi}{6}$.
Quindi il risultato sarebbe: $\alpha_1=8 \cdot 2^(1/3) (-\sqrt(3)/2-i/2)$.
iii) per $k=2$ mi viene : per $k=2$ mi viene: $\alpha_1=1024^(1/3) (cos(11\pi/6)+i sin(11\pi/6))$
infatti $\frac{3/2 \pi + 4\pi}{3}= \frac{11\pi}{6}$.
Quindi il risultato sarebbe: $\alpha_1=8 \cdot 2^(1/3) (\sqrt(3)/2-i/2)$.
Hai ragione Clorinda, nei risultati k=1 e k=2 ho dimenticato di considerare il 1/3 nel coseno e nel seno. La mia stupida fretta...
Grazie mille
Grazie mille
Prego!! 
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