Verifica esercizio estremi relativi

[Arjen10]

Salve a tutti, ho svolto questo esercizio e non avendo un risultato con il quale verificarne la correttezza chiedo gentilmente a voi:

Calcolare gli estremi relativi di $f(x,y)=y^2-x/2-1+cosx$

Calcolando le derivate parziali mi esce:
rispetto ad $x$: $-1/2-sinx$

rispetto ad $y$: $2y$

Metto a sistema :

${(-1/2-sinx=0),(2y=0) :}$

trovandomi $y=0$ e $x=arcsin(-1/2)$ ossia $x=-30$

Calcolando le 4 derivate seconde parziali invece ho:

$f''(x,x)=-cosx; f''(y,x)=0; f''(x,y)=0; f''(y,y)=2$

La Matrice hessiana del punto (0,-30) mi esce $-2$ quindi ho solamente un punto di sella?
Aiutatemi per favore perchè ho la sensazione di aver sbagliato tutto

[ciampax]

La soluzione di
$$-\frac{1}{2}-\sin x=0,\qquad 2y=0$$
è in generale
$$P_1=\left(\frac{11\pi}{6}+2kpi,0\right),\qquad P_2\left(\frac{7\pi}{6}+2k\pi,0\right),\qquad k\in\mathbb{Z}$$
(dovresti usare i radianti, non gli angoli sessagesimali e osserva che ci sono infiniti punti del tipo 1 e del tipo 2).
A questo punto, vista la forma delle derivate, osservi subito che il determinante dell'hessiana risulta, in generale
$$H_f=-2\cos x$$
per cui si ha
$$H_f(P_1)=-\sqrt{3},\qquad H_h(P_2)=\sqrt{3}$$
Pertanto i punti del tipo 1 sono tutti punti di sella. I punti del tipo due, invece, essendo la matrice hessiana in $P_2$ della forma
$$\left(\begin{array}{cc}
\sqrt{3}/2 & 0\\ 0 & 2
\end{array}\right)$$
risultano punti di minimo relativo.

[Arjen10]

Purtroppo non le ricordo piu le soluzioni di queste equazioni goniometriche, dammi una mano a far mente locale per favore
allora so che $-pi/6$ si trova al terzo quadrante tra $pi$ e $3/2pi$
quindi facendo $pi+pi/6$ mi trovo $7/6pi$ ma poi l'$11/6pi$ dove lo tiri fuori?

[ciampax]

I due angoli che soddisfano, nella circonferenza standard, l'equazione $\sin x=-1/2$ sono quelli corrispondenti a $\pi+\pi/6$ e $2\pi-\pi/2$ (basta farsi un disegnino).A quel punto, basta sommare le molteplicità.

[Arjen10]

si scusa avevo dimenticato l'intersezione all'altro quadrante XD

Grazie mille comunque sei stato chiarissimo