Verifica esercizi di un appello di Analisi Matematica I
Dunque, vorrei provare a capire attraverso i vostri pareri, un paio di esercizi di un appello di Analisi I.
1) $int 1/(e^x +1) dx$
Molto semplicemente, ho posto $e^x =t$, da cui il differenziale $dx=1/t dt$. Riscrivo l'integrale come $int 1/(t +1)*1/t dt$ e in seguito si svolge l'integrale come integrale di fuzione fratta. Si nota subito che il denominatore è già fattorizzato. Risolvo e ottengo $A=1$ (si vede già che 1 è il termine noto) e $B=-1$. Da qui facilmente
$int 1/t dt -int 1/(t+1) dt$. Facilmente ottengo $log t - log (t+1)$ da cui $log e^x - log (e^x +1); x-log (e^x+1)$
2) Studiare la seguente funzione:
$F(x)=int_0^(x^2) e^t/(t^2+3) dt$
Dopo le dovute osservazioni (ho enunciato il teorema fondamentale del calcolo integrale), sono andato a calcolare il dominio della $f(t)$, ovvero $t^2+3!=0 => t^2!=-3 => AAx$
Quindi il dominio di $F(x)$ sarà anch'esso $RR$ in quanto anche $x^2 in RR$
Passando alla derivata, ho esposto che siamo in presenza di una funzione composta, e dal teorema fondamentale vediamo che $F'(x)=f(t)$. Quindi la mia derivata è $e^(x^2)/(x^4+3)*2x$. Andando a studiare la crescenza e decrescenza della derivata, dovrei ottenere che:
$2x>=0 <=> x>=0$
$e^(x^2)>=0 => AAx$
$x^4> -3 => AAx$
Unendo i risultati, ho ottenuto che prima di 0 la funzione decresce, mentre a destra cresce. Ne deriva che 0 è un punto di minimo relativo.
Mi son fermato qui in quanto ci hanno esplicitamente detto di non andare oltre.
3)Determinare i minimi e massimi assoluti della seguente funzione:
$f(x)=|x|*senx$ per $f: [- ((-\pi)/3), 3/2]
Qui iniziano i problemi per me. Ho cercato l'insieme di definizione della funzione:
il valore assoluto si divide in
$(x)$ per $x>=0$
$-(x)$ per $x<0$
essendo l'intervallo in cui è definita la funzione positivo, consideriamo solo $x>=0$, quindi la funzione diventa $f(x)=x*senx$. Ora, io ho scritto che la funzione è continua nel suo dominio, ed essendo in un intervallo chiuso e limitato, per Weierstrass la funzione ammette minimo e massimo assoluto. Da qui ho diviso lo studio in 3 parti:
1- Calcolare la funzione negli estremi dell'intervallo;
2- Ricercare punti interni a $(- ((-\pi)/3), 3/2)$ tali che $f'(x)=0$
3- Ricercare punti interni a $(- ((-\pi)/3), 3/2)$ tali che $\nexists f'(x)$
Son partito con il calcolare la derivata prima, e attraverso la regola di derivazione, ho ottenuto:
$f'(x)=1*senx+x*(cosx) => senx +x*cosx=0$ (posta uguale a 0). Mi son bloccato qui, magari voi saprete darmi delucidazioni sul procedimento adottato.
Ditemi voi cosa ne pensate. Dovendo svolgere il secondo esonero, questi tre esericizi erano gli unici che dovevo svolgere, spero onestamente di non essere andato malissimo. Grazie ^^
1) $int 1/(e^x +1) dx$
Molto semplicemente, ho posto $e^x =t$, da cui il differenziale $dx=1/t dt$. Riscrivo l'integrale come $int 1/(t +1)*1/t dt$ e in seguito si svolge l'integrale come integrale di fuzione fratta. Si nota subito che il denominatore è già fattorizzato. Risolvo e ottengo $A=1$ (si vede già che 1 è il termine noto) e $B=-1$. Da qui facilmente
$int 1/t dt -int 1/(t+1) dt$. Facilmente ottengo $log t - log (t+1)$ da cui $log e^x - log (e^x +1); x-log (e^x+1)$
2) Studiare la seguente funzione:
$F(x)=int_0^(x^2) e^t/(t^2+3) dt$
Dopo le dovute osservazioni (ho enunciato il teorema fondamentale del calcolo integrale), sono andato a calcolare il dominio della $f(t)$, ovvero $t^2+3!=0 => t^2!=-3 => AAx$
Quindi il dominio di $F(x)$ sarà anch'esso $RR$ in quanto anche $x^2 in RR$
Passando alla derivata, ho esposto che siamo in presenza di una funzione composta, e dal teorema fondamentale vediamo che $F'(x)=f(t)$. Quindi la mia derivata è $e^(x^2)/(x^4+3)*2x$. Andando a studiare la crescenza e decrescenza della derivata, dovrei ottenere che:
$2x>=0 <=> x>=0$
$e^(x^2)>=0 => AAx$
$x^4> -3 => AAx$
Unendo i risultati, ho ottenuto che prima di 0 la funzione decresce, mentre a destra cresce. Ne deriva che 0 è un punto di minimo relativo.
Mi son fermato qui in quanto ci hanno esplicitamente detto di non andare oltre.
3)Determinare i minimi e massimi assoluti della seguente funzione:
$f(x)=|x|*senx$ per $f: [- ((-\pi)/3), 3/2]
Qui iniziano i problemi per me. Ho cercato l'insieme di definizione della funzione:
il valore assoluto si divide in
$(x)$ per $x>=0$
$-(x)$ per $x<0$
essendo l'intervallo in cui è definita la funzione positivo, consideriamo solo $x>=0$, quindi la funzione diventa $f(x)=x*senx$. Ora, io ho scritto che la funzione è continua nel suo dominio, ed essendo in un intervallo chiuso e limitato, per Weierstrass la funzione ammette minimo e massimo assoluto. Da qui ho diviso lo studio in 3 parti:
1- Calcolare la funzione negli estremi dell'intervallo;
2- Ricercare punti interni a $(- ((-\pi)/3), 3/2)$ tali che $f'(x)=0$
3- Ricercare punti interni a $(- ((-\pi)/3), 3/2)$ tali che $\nexists f'(x)$
Son partito con il calcolare la derivata prima, e attraverso la regola di derivazione, ho ottenuto:
$f'(x)=1*senx+x*(cosx) => senx +x*cosx=0$ (posta uguale a 0). Mi son bloccato qui, magari voi saprete darmi delucidazioni sul procedimento adottato.
Ditemi voi cosa ne pensate. Dovendo svolgere il secondo esonero, questi tre esericizi erano gli unici che dovevo svolgere, spero onestamente di non essere andato malissimo. Grazie ^^
Risposte
1) Il risultato è corretto (ma ti sei scordato di scrivere la costante additiva $C$ 
), come puoi verificare facilmente anche tu derivandolo; non ho controllato i calcoli del procedimento ma le idee sono corrette.
2) I risultati ottenuti sono tutti corretti ma non ti sei espresso benissimo. Cominciamo dal dominio: $F$ è definita ovunque e siamo d'accordo, ma devi spiegare meglio il perché. Precisamente, devi dire: essendo la funzione integranda $f(t)=\frac{e^t}{t^2+3}$ ben definita e continua $\forall t \in RR$, essa è anche integrabile sugli intervalli $[0, x^2]$ al variare di $x\inRR$. Quindi la funzione integrale $F(x)$ è ben definita per ogni $x\inRR$.
Veniamo poi alla derivata di $F$. Per uno svolgimento più pulito, poni $G(x)=int_0^x f(t) "d"t$. Essendo $f$ continua ovunque, $G$ è derivabile ovunque; inoltre $F(x)=G(x^2)$ quindi $F'(x)=G'(x^2)2x$, ovvero lo stesso risultato che hai ottenuto tu, ma è più leggibile da un esaminatore. Inoltre corri meno il rischio di dimenticarti quel fattore $2x=(x^2)'$.
Infine, lo studio della monotonia di $F$ è svolto correttamente.
Comunque questi esercizi sono ben svolti. Complimenti. Più tardi vediamo il terzo.
), come puoi verificare facilmente anche tu derivandolo; non ho controllato i calcoli del procedimento ma le idee sono corrette.2) I risultati ottenuti sono tutti corretti ma non ti sei espresso benissimo. Cominciamo dal dominio: $F$ è definita ovunque e siamo d'accordo, ma devi spiegare meglio il perché. Precisamente, devi dire: essendo la funzione integranda $f(t)=\frac{e^t}{t^2+3}$ ben definita e continua $\forall t \in RR$, essa è anche integrabile sugli intervalli $[0, x^2]$ al variare di $x\inRR$. Quindi la funzione integrale $F(x)$ è ben definita per ogni $x\inRR$.
Veniamo poi alla derivata di $F$. Per uno svolgimento più pulito, poni $G(x)=int_0^x f(t) "d"t$. Essendo $f$ continua ovunque, $G$ è derivabile ovunque; inoltre $F(x)=G(x^2)$ quindi $F'(x)=G'(x^2)2x$, ovvero lo stesso risultato che hai ottenuto tu, ma è più leggibile da un esaminatore. Inoltre corri meno il rischio di dimenticarti quel fattore $2x=(x^2)'$.
Infine, lo studio della monotonia di $F$ è svolto correttamente.
Comunque questi esercizi sono ben svolti. Complimenti. Più tardi vediamo il terzo.
3) Purtroppo continui a non esprimerti in modo perfetto. Cosa vuoi dire con $f:[-\frac{-pi}{3}, 3/2]$ ? Probabilmente che la funzione è $ f(x)=|x|sin(x),\ x \in[-\frac{-pi}{3}, 3/2]$. Se è così hai fatto bene a togliere il valore assoluto, era solo un depistaggio visto che la funzione è definita solo per $x$ positive. E anche il procedimento che stavi seguendo per trovare massimi e minimi è corretto. Tieni presente che, $\forall x \in [-\frac{-pi}{3}, 3/2],\ f'(x)=sin x+ xcosx$. Per risolvere $f'(x)=0$ ti conviene usare il metodo grafico. Direi che non ci sono soluzioni, no? Quindi massimi e minimi vanno ricercati negli estremi.
chiedo perdono per la scarsa chiarezza nell'esposizione, posso assicurarti che sulla prova d'esame ho scritto meglio, semplicemente non avevo molto tempo a disposizione quando ho scritto il thread e ho peccato causa fretta. In ogni caso sullo studio di funzione integrale ho svolto tutti i passaggi, dall'esposizione del teorema fondamentale del calcolo integrale all'esplicazione della derivata di una funzione composta ponendo come giustamente hai fatto notare $G(x)=int_0^x f(t)dt$ e $h(x)=x^2$. Sul terzo esercizio ho sbagliato a omettere lintervallo, la dicitura voleva essere $f: [(-(-\pi)/3), 3/2] -> RR$
chiedo perdono per la scarsa chiarezza nell'esposizione, posso assicurarti che sulla prova d'esame ho scritto meglio,Si, ok, avevo immaginato qualcosa del genere.
E' un compito molto buono, peccato che l'equazione $sinx+xcosx=0$ ti ha mandato nel pallone, d'altronde sono cose che capitano spesso agli esami. Ma comunque hai risolto quasi tutto. Se l'esaminatore fossi io lo approverei senza problemi.
Vedendo la tua provenienza, non posso trattenermi dal dire che frequento la facoltà di Ingegneria Edile al Politecnico di Bari. Spero solo che i professori che correggeranno la prova siano della tua stessa opinione ^^. Grazie per la spiegazione in ogni caso, dovrò vedere un attimo il metodo grafico per la risoluzione della derivata prima e andrò alla prova orale.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo