Verifica di una disuguaglianza.

[compa90]

Buonasera, ho il seguente problema
Siano $x,y in RR_+$ per cui $x-y>1$ allora esiste un certo $n in NN $ per cui $x>n>y$.


Ho provato ad applicare la proprietà di Archimede, la quale ricordo
Siano $a,b$ reali positivi esiste un certo $n \ in NN$ per cui $na>b$.

$1, x-y$ sono entrambi positivi, quindi la proprietà è applicabile, però non ho proprio idea di come procedere.

Qualche input


Saluti.

[otta96]

Considera il massimo naturale più piccolo di $x$ (perchè esiste?)...

[compa90]

Buongiorno otta96!

Vorrei un pò modificare la domanda, cioè
Prendere $x, y $ in $RR$ con $x-y>1$ allora esiste $k in ZZ$ per cui $x > k > y$.
Osservo che $x-y>1$ implica anche che $x>y$.


Quello che mi suggerisci, se ho ben capito, è di valutare la parte intera di $x$.
"La domanda che mi hai fatto è: Perché esiste la parte intera di un numero reale? " Se si, perché ogni numero reale lo possiamo rappresentare con un allineamento decimale, cioè del tipo $a=m.a_1a_2...a_t....$, dove $m=[a]$ è appunto la parte intera di $a$ .


Quindi, posto

$x=m.x_1x_2x_3...$, e $y=m'.y_1y_2y_3...$

allora si ha

$m=[x], m'=[y]$ e $x ge m, y ge m'$

si ha $m > y$.

Infatti, se per assurdo fosse $m le y$ allora $mlem'.y_1y_2y_3...

$mlem' le m'.y_1y_2y_3... m'
quindi $m$ non è il più grande intero minore od uguale ad $x$, che è assurdo.

Va bene cosi?

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[otta96]

Non proprio, ma quasi, $m$ potrebbe comunque essere il più grande intero minore od uguale ad $x$, ma a costo che $m=m'$, da cui seguirebbe....

[compa90]

Scusami, ma non ho capito, $m$ è la parte intera di $x$ quindi per definizione è il più grande intero minore o uguale ad $x$, questo vale ovviamente anche per $y$, e quindi valgono queste relazioni $ x ge m, y ge m' $

[otta96]

Ma te hai dimostrato che $m<=m'$, non $m

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[compa90]

Non so se ho capito bene, ma forse fin qui $ mlem' le m'.y_1y_2y_3... m' Quindi, rimane da far vedere che non si può verificare che $m=m'$.

Se si, allora se fosse che $x,y$ abbiamo la stessa parte intera, e cioè $m=m'$ allora risulterebbe che
$m.x_1x_2x_3>m.y_1y_2y_3 => 0.x_1x_2x_3-0.y_1y_2y_3>1$ questa è la strada?

[otta96]

$<1$, non $>1$; che contraddice l'ipotesi quindi hai fatto.

[compa90]

Si è minore di uno questa quantità $ 0.x_1x_2x_3-0.y_1y_2y_3 $ quindi è assurdo. Pertanto si ha necessariamente $m Infine, si $m>y$.


Va bene?

[otta96]

Si.

[compa90]

Grazie otta96