Verifica di una disuguaglianza

[galles90]

Buonasera,

dovrei verificare la seguente relazione per ogni $n in NN$, ossia:

$e^n ge (n^(n-1))/((n-1)!)$

Procedo applicando il principio di induzione, quindi, riporto l'enunciato del principio di induzione
Enunciato-Principio di induzione

Sia $P(n)$ un predicato riguardante il numero naturale $n$, se
1) $P(n_0)$ è vera
2) $forall n ge n_0 \ : \ P(n) to P(n+1).$

Allora $P(n)$ è vera per ogni $n ge n_0.$

Sia $n_0=1$, si ha

$e ge 1$

la quale è vera, essendo che $e=2.71...$
supposto che sia vera per un certo $n_0$, occore verificare che sia vera per $n+1$,cioè dobbiamo dimostrare che è vera

$e^(n+1)ge ((n+1)^n)/(n!)$

quindi

$((n+1)^n)/(n!)=(n+1)^((n-1+1))/(n(n-1)!)=(n+1)^((n-1))/((n-1)!)(n+1)/(n)le e(n+1)^((n-1))/((n-1)!) $

verifico che

$e^n ge (n+1)^((n-1))/((n-1)!) $

cioè

$e^n ge (n+1)^((n-1))/((n-1)!) leftrightarrow (e^n((n-1)!-e^(ln(1/(n+1)))))/((n-1)!) ge 0 $

si ha :
$e^n ge 0 \ qquad forall n in NN$
$(n-1)!-e^(ln(1/(n+1))) ge 0 to (n-1)! ge (1/(n+1))\ qquad forall n in NN$
$(n-1)! ge 0 \ qquad forall n in NN$

quindi

$e^n ge (n+1)^((n-1))/((n-1)!) $

è verificata per ogni $n in NN$, pertanto si ha

$((n+1)^n)/(n!)le\ ... \ le e(n+1)^((n-1))/((n-1)!) le e*e^n=e^(n+1) $

Può andare bene ?

Qualora fosse corretta, il testo richiedeva di verificarla per ogni intero $n$, come faccio a verificare se è presente un fattoriale ?

[anto_zoolander]

Ciao Galles!
Perché riporti sempre le definizioni?

Comunque hai finito guarda... hai dimostrato che per $n=1$ è vera
Supponendo che sia vera per $n$ mostri che è vera per $n+1$

$(n+1)^n/(n!)=(n+1)^(n-1)/((n-1)!)*(1+1/n)leq(n+1)^(n-1)/((n-1)!)*eleqe^n*e=e^(n+1)$

[galles90]

Ciao anto_zoolander, grazie per la risposta.

Quindi mi trovo

Per quanto riguarda la verifica per ogni intero $n$, come bisogna procedere?
La funzione fattoriale, è una funzione definita in $NN$, quindi non avrebbe senso considerare la relazione precedente per numeri interi negativi.

Comunque riporto la traccia dell'esercizio

6) Verificare che, per ogni interto $n$ si ha

$e^n ge (n^(n-1))/((n-1)!)$