Verifica di un limite tramite definizione
Buonasera a tutti, sono un po incastrato in questo esercizio riguardante la verifica del limite della tangente, in particolare:
\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}^{-}}tg \ x=+\infty \)
Ho ragionato così:
Devo dimostrare che:
\(\displaystyle \forall K>0 \ \exists\epsilon>0 \ \ : \frac{\pi}{2}-\epsilonK \)
Allora
\(\displaystyle \tan x > K \rightarrow \sin x> K \cos x \)
essendo in un intervallo in cui entrambi sono positivi.
Ma dato che \(\displaystyle \sin x \) è limitata ciò può accadere solo qualora \(\displaystyle \cos x \leq 0 \), ma non può essere \(\displaystyle \cos x<0 \) nell'intorno considerato, quindi dovrei provare che \(\displaystyle \cos x=0 \).
Vorrei ora sapere se il ragionamento fino a quanto ora detto sia corretto, e che suggerimento avreste per dimostralo.
Grazie in Anticipo
\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}^{-}}tg \ x=+\infty \)
Ho ragionato così:
Devo dimostrare che:
\(\displaystyle \forall K>0 \ \exists\epsilon>0 \ \ : \frac{\pi}{2}-\epsilon
Allora
\(\displaystyle \tan x > K \rightarrow \sin x> K \cos x \)
essendo in un intervallo in cui entrambi sono positivi.
Ma dato che \(\displaystyle \sin x \) è limitata ciò può accadere solo qualora \(\displaystyle \cos x \leq 0 \), ma non può essere \(\displaystyle \cos x<0 \) nell'intorno considerato, quindi dovrei provare che \(\displaystyle \cos x=0 \).
Vorrei ora sapere se il ragionamento fino a quanto ora detto sia corretto, e che suggerimento avreste per dimostralo.
Grazie in Anticipo
Risposte
Scusatemi ovviamente \(\displaystyle \cos x \neq 0 \) sia per definizione di limite in un punto, sia perchè altrimenti non potrei dividere per 0.
Se invece ragionassi così:
\(\displaystyle x> \arctan K\).
Allora \(\displaystyle x>\frac{\pi}{2}-\epsilon \), se scegliessi quindi \(\displaystyle \epsilon \) nel seguente modo:
\(\displaystyle \epsilon=(\arctan K)+\frac{\pi}{2} \), allora avrei l'asserto.
E' corretto?
Se invece ragionassi così:
\(\displaystyle x> \arctan K\).
Allora \(\displaystyle x>\frac{\pi}{2}-\epsilon \), se scegliessi quindi \(\displaystyle \epsilon \) nel seguente modo:
\(\displaystyle \epsilon=(\arctan K)+\frac{\pi}{2} \), allora avrei l'asserto.
E' corretto?
dobbiamo dimostrare che $forallM>0,exists I^(-)(pi/2) : forall x in I^(-)(pi/2),tgx>M$
ciò è verificato prendendo $I^(-)(pi/2)= (arctgM,pi/2)$
ciò è verificato prendendo $I^(-)(pi/2)= (arctgM,pi/2)$
Grazie mille.
Per dimostrare invece che \(\displaystyle \lim_{x->\frac{\pi}{2}^+}\tan x=-\infty \) devo dimostrare che :
\(\displaystyle \forall M>0, \exists\ \ I^+ \biggl (\frac{\pi}{2}\biggr): \ \forall x \in I^+\biggl(\frac{\pi} {2}\biggr), \tan x<-M \).
Il mio procedimento per individuare quest'intervallo è piuttosto fallimentare. Te lo espongo così nel caso potessi aiutarmi mi risulterebbe molto utile.
\(\displaystyle \tan x<-M \) implica \(\displaystyle x< - \arctan M \) poichè essendo l'arcotangente dispari questo è vero. Tale intervallo però dovrebbe essere positivo a destra di \(\displaystyle \frac{\pi}{2} \) .
Sbaglio qualcosa nell'inversione della tangente?
Grazie mille in anticipo
Per dimostrare invece che \(\displaystyle \lim_{x->\frac{\pi}{2}^+}\tan x=-\infty \) devo dimostrare che :
\(\displaystyle \forall M>0, \exists\ \ I^+ \biggl (\frac{\pi}{2}\biggr): \ \forall x \in I^+\biggl(\frac{\pi} {2}\biggr), \tan x<-M \).
Il mio procedimento per individuare quest'intervallo è piuttosto fallimentare. Te lo espongo così nel caso potessi aiutarmi mi risulterebbe molto utile.
\(\displaystyle \tan x<-M \) implica \(\displaystyle x< - \arctan M \) poichè essendo l'arcotangente dispari questo è vero. Tale intervallo però dovrebbe essere positivo a destra di \(\displaystyle \frac{\pi}{2} \) .
Sbaglio qualcosa nell'inversione della tangente?
Grazie mille in anticipo
Grazie mille, molto gentile. Se posso chiederti un ulteriore chiarimento, hai scelto di definire \(\displaystyle \tan x \) nell'intervallo \(\displaystyle I=\biggl(0,\frac{\pi}{2} \biggr) \setminus \biggl(\frac{\pi}{2} \biggr) \)?
Intendo ai fini dell'inversione della tangente.
Grazie in anticipo.
Intendo ai fini dell'inversione della tangente.
Grazie in anticipo.
Che la debba rivedere è sicuro e ti ringrazio per il link.Il fatto è che per come M è definito non posso usare metodi "grafici"
perchè in questo caso "non conosco" il valore per cui la tangente è M, se non invertendo la funzione tangente.
Per farlo devo considerare un dominio in cui definire la tangente sia biettiva, giusto ? Perché la dicitura intuitiva "grande abbastanza" non mi aggrada molto(perdonami ma cerco di essere più rigoroso possibile, per quanto ci possa riuscire):
so che \(\displaystyle \forall M>0 \), quindi sapendo che \(\displaystyle M \) è un numero \(\displaystyle \in \mathbb{R} ,>0\) la tangente definita nell'intervallo di cui sopra\(\displaystyle I=\biggl\{\biggl(0,\pi\biggr)-\biggl(\frac{\pi}{2} \biggr)\biggr\} \) è biettiva, quindi posso invertirla.
La sua inversa ha come dominio l'immagine della tangente in \(\displaystyle I \), cioè \(\displaystyle \mathbb{R} \).
L'immagine dell'inversa è invece il dominio della funzione invertita(mi scuso per il giro di parole, \(\displaystyle tan x \) per intenderci):
\(\displaystyle tan x:I\rightarrow \mathbb{R} \)
\(\displaystyle \arctan (tan x)=x:\mathbb{R} \mapsto I \)
Non saprei ora come concludere "analiticamente" che x deve essere compreso nell'intervallo che tu mi scrivi(che è sicuramente giusto beneinteso).
Perdonami per la confusione(sia nella scrittura, sia sull'argomento).
perchè in questo caso "non conosco" il valore per cui la tangente è M, se non invertendo la funzione tangente.
Per farlo devo considerare un dominio in cui definire la tangente sia biettiva, giusto ? Perché la dicitura intuitiva "grande abbastanza" non mi aggrada molto(perdonami ma cerco di essere più rigoroso possibile, per quanto ci possa riuscire):
so che \(\displaystyle \forall M>0 \), quindi sapendo che \(\displaystyle M \) è un numero \(\displaystyle \in \mathbb{R} ,>0\) la tangente definita nell'intervallo di cui sopra\(\displaystyle I=\biggl\{\biggl(0,\pi\biggr)-\biggl(\frac{\pi}{2} \biggr)\biggr\} \) è biettiva, quindi posso invertirla.
La sua inversa ha come dominio l'immagine della tangente in \(\displaystyle I \), cioè \(\displaystyle \mathbb{R} \).
L'immagine dell'inversa è invece il dominio della funzione invertita(mi scuso per il giro di parole, \(\displaystyle tan x \) per intenderci):
\(\displaystyle tan x:I\rightarrow \mathbb{R} \)
\(\displaystyle \arctan (tan x)=x:\mathbb{R} \mapsto I \)
Non saprei ora come concludere "analiticamente" che x deve essere compreso nell'intervallo che tu mi scrivi(che è sicuramente giusto beneinteso).
Perdonami per la confusione(sia nella scrittura, sia sull'argomento).
Per carità lungi da me il fatto di dirti che non fossi rigoroso te, anzi sei stato il mio salvatore.
E' che sopporto poco bene le cose "intuitive" scritte su alcuni libri, mi piace quando il discorso quadra "in formule". Ti ringrazio ancora per il tempo speso.
E' che sopporto poco bene le cose "intuitive" scritte su alcuni libri, mi piace quando il discorso quadra "in formule". Ti ringrazio ancora per il tempo speso.
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