Verifica di un limite di successione
Ciao. Sto svolgendo alcuni esercizi sulla verifica di un limite di successione convergente ad un determinato valore L. Ad esempio:
1. $lim_(n -> +oo) frac{2+n}{n}=1$
2. Applico la definizione di limite di una successione convergente: $|frac{2+n}{n}-1|< epsilon$
3. $n>frac{2}{epsilon}
4. Se $epsilon=0.1$ la successione è definita nell'intervallo $(0.9; 1.1)$... $n>frac{2}{0,1} -> n>20
5. Se $n=21 -> frac{2+21}{21}=1,09...$ OK (1,09 appartiene all'intervallo)
Il mio problema sorge invece nella verifica di un limite di un'altra successione. Il libro afferma che tale limite è verificato, ma...
$lim_(n -> +oo) frac{n+1}{n^2}=0$
Quindi: $|frac{n+1}{n^2}|
Come faccio a risolvere la disequazione per isolare N? Grazie in anticipo.
1. $lim_(n -> +oo) frac{2+n}{n}=1$
2. Applico la definizione di limite di una successione convergente: $|frac{2+n}{n}-1|< epsilon$
3. $n>frac{2}{epsilon}
4. Se $epsilon=0.1$ la successione è definita nell'intervallo $(0.9; 1.1)$... $n>frac{2}{0,1} -> n>20
5. Se $n=21 -> frac{2+21}{21}=1,09...$ OK (1,09 appartiene all'intervallo)
Il mio problema sorge invece nella verifica di un limite di un'altra successione. Il libro afferma che tale limite è verificato, ma...
$lim_(n -> +oo) frac{n+1}{n^2}=0$
Quindi: $|frac{n+1}{n^2}|
Come faccio a risolvere la disequazione per isolare N? Grazie in anticipo.
Risposte
E' una disequazione di secondo grado... seconda superiore.
Tratta $varepsilon$ come se fosse un normalissimo numero e risolvi $varepsilon n^2-n-1>0$
Sì, lo sò... come si può notare non vado molto d'accordo con la matematica. Però ho provato e non mi convince molto. Dato che n>0 posso togliere tranquillamente il modulo. Quindi...
1. $frac{n+1}{n^2}
2. $frac{epsilon n^2 -n -1}{n^2}>0$
3. Numeratore > 0 $-> n_{1,2}=frac{1 pm sqrt{1+4 epsilon}}{2 epsilon} -> nfrac{1+sqrt{1+4 epsilon}}{2 epsilon}$
4. Denominatore > 0 $-> n^2>0 -> AAx$
5. $n<1-sqrt{1+4 epsilon} uu n>1+sqrt{1+4 epsilon}$
Così giusto? (Scusate per il quesito banale...)
1. $frac{n+1}{n^2}
2. $frac{epsilon n^2 -n -1}{n^2}>0$
3. Numeratore > 0 $-> n_{1,2}=frac{1 pm sqrt{1+4 epsilon}}{2 epsilon} -> n
4. Denominatore > 0 $-> n^2>0 -> AAx$
5. $n<1-sqrt{1+4 epsilon} uu n>1+sqrt{1+4 epsilon}$
Così giusto? (Scusate per il quesito banale...)
Beh appartre il fatto che le successioni vanno da $NN\toRR$ o $CC$ al massimo, per cui gli elementi del dominio sono sempre positivi; in più è $n^2>0$ ossia quando un numero positivo elevato al quadrato è positivo? (ma anche se fosse stato un numero reale, quando un numero reale elevato al quadrato è positivo?) SEMPRE 
per cui il denominatore, posto che non sia zero, lo possiamo benissimo trascurare no? Inoltre il simbolo di unione significa che possiamo prendere ambedue gli intervalli di soluzioni, ma anche uno solo, dunque il limite resta verificato.
per cui il denominatore, posto che non sia zero, lo possiamo benissimo trascurare no? Inoltre il simbolo di unione significa che possiamo prendere ambedue gli intervalli di soluzioni, ma anche uno solo, dunque il limite resta verificato.
Scusa, Friction. Ho corretto. Questo lo sapevo. Devo essere fuso a quest'ora. Grazie comunque! 
Un'ultima domanda: questa volta ho il seguente limite di successione.
$lim_(n -> +oo) frac{2n^2}{4-n^2}=-2$
Quindi...
$|frac{2n^2}{4-n^2}+2| |frac{2n^2+8-2n^2}{4-n^2}| |frac{8}{4-n^2}| frac{8}{|4-n^2|} |4-n^2|>frac{8}{epsilon}$
Mi ritrovo con una disequazione con modulo, ma devo considerare che $n>0$... Come posso verificare il limite? La scrittura è corretta o non è mai verificato? Grazie ancora!
$lim_(n -> +oo) frac{2n^2}{4-n^2}=-2$
Quindi...
$|frac{2n^2}{4-n^2}+2|
Mi ritrovo con una disequazione con modulo, ma devo considerare che $n>0$... Come posso verificare il limite? La scrittura è corretta o non è mai verificato? Grazie ancora!
Uhm... proviamo a ragionare. Se $n->+oo$, come sarà $4-n^2$? (negativo, quindi cambio segno all'argomento e tolgo il modulo). Però aspetta risposta da qualcuno più affidabile di me
"friction":
Uhm... proviamo a ragionare. Se $n->+oo$, come sarà $4-n^2$? (negativo, quindi cambio segno all'argomento e tolgo il modulo). Però aspetta risposta da qualcuno più affidabile di me
Sì, però solo per $n>2$, per $n=1$ è positivo, per $n=2$ è nullo. Devo svolgerla come una normale disequazione con modulo oppure devo comportarmi diversamente, dato che si tratta di una successione con $n>0$? Grazie!
Si ma il limite di quella funzione non è né per $n=2$, né per $n=1$, bensì per un $n$ grandissimo... quindi possiamo supporre l'argomento negativo e cambiare segni, credo... Facciamo un esperimento, tu risolvi la disequazione come da prassi, aprendo il modulo nei due casi, io provo a seguire il ragionamento e vediamo se ci viene uguale comunque che è verificato si vede a occhio.
comunque che è verificato si vede a occhio.
Ok, sono pronto per fare un'ulteriore figuraccia... 
Comunque dovrebbe venire:
$|4-n^2|>frac{8}{epsilon}$
$4-n^2$ se $1 leq n leq 2$, $n^2-4$ se $n geq 3$
Nel primo caso ho $4-n^2>frac{8}{epsilon} -> n^2<4-frac{8}{epsilon} -> n
Nel secondo caso ho $n^2-4>frac{8}{epsilon} -> n^2>frac{8}{epsilon}+4 -> n>sqrt{(frac{8}{epsilon}+4)}$ (valori esterni)
Può essere?
Comunque dovrebbe venire:$|4-n^2|>frac{8}{epsilon}$
$4-n^2$ se $1 leq n leq 2$, $n^2-4$ se $n geq 3$
Nel primo caso ho $4-n^2>frac{8}{epsilon} -> n^2<4-frac{8}{epsilon} -> n
Nel secondo caso ho $n^2-4>frac{8}{epsilon} -> n^2>frac{8}{epsilon}+4 -> n>sqrt{(frac{8}{epsilon}+4)}$ (valori esterni)
Può essere?
Beh per la risoluzione della disequazione è sufficiente applicare la proprietà:
$|f(x)|>=a <=> f(x)<=-a vv f(x)>a$
Troverai che solo una delle due disequazioni possiede delle soluzioni accettabili, ed esse coincidono con quelle che troveresti togliendo il modulo e cambiando i segni all'argomento.
$|f(x)|>=a <=> f(x)<=-a vv f(x)>a$
Troverai che solo una delle due disequazioni possiede delle soluzioni accettabili, ed esse coincidono con quelle che troveresti togliendo il modulo e cambiando i segni all'argomento.
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