Verifica di un limite di funzioni a più variabili attraverso la definizione del limite finito

[Vikhr]

Devo verificare sfruttando la definizione di un limite finito il limite seguente: $lim_(x,y->0,0)(3x^3+2x^2+2y^2)/(x^2+y^2)=2$.

Purtroppo, se non ricevo un input, chiedermi di risolvere questo esercizio è come chiedermi di sollevarmi in aria sbattendo le braccia come se fossero ali. So che devo effettuare una maggiorazione per un $\epsilon$ grande a piacere, ma non ho idea di come arrivarci applicando artifizi alla funzione in questione.

Di nuovo grazie mille per ogni aiuto.

[stormy1]

applica la definizione e verifica che
$|(3x^3+2x^2+2y^2)/(x^2+y^2)-2|leq 3|x|$

[Vikhr]

Per x,y=1,1 la disequazione è verificata se le disequazioni con i moduli e più variabili non mi causano problemi.

[stormy1]

se fai il minimo comune multiplo e ci ragioni un attimo puoi verificare che vale per ogni $(x,y)$ del dominio della funzione

[Vikhr]

Il ragionamento devo farlo su $|3x^3|$ $<=$ $|3x^3+3xy^2|$, giusto? Scusa se sono incerto o sbaglio, ma ho avuto problemi con pessimi insegnanti prima dell'uni e ora mi trovo a dover rimettere insieme i cocci della disfatta Ma comunque mi sembra evidente quello che dici da questa disequazione e pare che la maggiorazione sia riuscita... devo solo formalizzare un po', ma lo farò domanimattina.

[stormy1]

facendo il minimo comune multiplo si ha
$|(3x^3)/(x^2+y^2)|=3|x|cdot|x^2/(x^2+y^2)|leq3|x|$

[Vikhr]

Ok, grazie mille per avermelo fatto capire e buona notte.

[Vikhr]

Invece se volessi maggiorare il modulo di $[(y-1)^4]/[x^2+y^2+2(1-x-y)]$, con cosa potrei maggiorarlo? Va bene $|(y-1)^5|$? Ho provato con $|y|$ e non va bene. Oppure posso maggiorarlo con il suo numeratore?