Verifica di un limite con modulo di $x$
Ciao sul libro di analisi viene chiesto di verificare il seguente limite
\[
\lim_{x\rightarrow 0^+}{\frac{\lvert x\rvert}{x}}=1
\]
Applicando la definizione di limite destro devo trovare un intorno $00$, essa verifica il limite pur non avendo individuato un $\delta_\epsilon$ finito?
\[
\lim_{x\rightarrow 0^+}{\frac{\lvert x\rvert}{x}}=1
\]
Applicando la definizione di limite destro devo trovare un intorno $0
Risposte
Ma il libro ti chiede espressamente di verificarlo con la definizione di limite??
In ogni caso, si perché la tua funzione è identicamente uguale a $1$ per tutti gli $x>0$, quindi intuitivamente significa che non importa quanto è grande l'intervallo destro $\delta_\epsilon$, avrai sempre che per ogni $\epsilon>0$ , $|1-1|<\epsilon$.
In termini formali, la definizione di limite ti dice che $\forall \epsilon>0$ ESISTE $\delta_\epsilon >0$ tale che eccetera... quindi se $|f(x)-L|<\epsilon$ è sempre vera indipendentemente da $\delta_epsilon$ vuol dire che vanno bene tutti i $\delta_\epsilon >0$ perciò esiste eccome UN $\delta_\epsilon$, vanno bene tutti...
In ogni caso, si perché la tua funzione è identicamente uguale a $1$ per tutti gli $x>0$, quindi intuitivamente significa che non importa quanto è grande l'intervallo destro $\delta_\epsilon$, avrai sempre che per ogni $\epsilon>0$ , $|1-1|<\epsilon$.
In termini formali, la definizione di limite ti dice che $\forall \epsilon>0$ ESISTE $\delta_\epsilon >0$ tale che eccetera... quindi se $|f(x)-L|<\epsilon$ è sempre vera indipendentemente da $\delta_epsilon$ vuol dire che vanno bene tutti i $\delta_\epsilon >0$ perciò esiste eccome UN $\delta_\epsilon$, vanno bene tutti...
"Bossmer":
Ma il libro ti chiede espressamente di verificarlo con la definizione di limite??
be' veramente no, diceva che si poteva verificare facilmente. Io ho interpretato la cosa attraverso la definizione ma a questo punto penso intendesse dire tramite l'osservazione che hai fatto tu. Comunque c'era questo mio dubbio sul risultato del sistema applicando la definizione.
Grazie per il chiarimento.
Ma non c'è bisogno di spiegazioni intuitive. La spiegazione formale è molto più semplice ed è anche completamente rigorosa:
Il fatto che \(x\to 0^+\) significa che si considera solo \(x>0\). Con questa condizione, \(\lvert x \rvert =x\). Quindi la funzione di cui occorre calcolare il limite vale
\[
\frac{\lvert x \rvert}{x}=1, \]
ed ovviamente
\[
\lim_{x\to 0^+}1=1.\]
Il fatto che \(x\to 0^+\) significa che si considera solo \(x>0\). Con questa condizione, \(\lvert x \rvert =x\). Quindi la funzione di cui occorre calcolare il limite vale
\[
\frac{\lvert x \rvert}{x}=1, \]
ed ovviamente
\[
\lim_{x\to 0^+}1=1.\]
"dissonance":
Ma non c'è bisogno di spiegazioni intuitive. La spiegazione formale è molto più semplice ed è anche completamente rigorosa:
Il fatto che \(x\to 0^+\) significa che si considera solo \(x>0\). Con questa condizione, \(\lvert x \rvert =x\). Quindi la funzione di cui occorre calcolare il limite vale
\[
\frac{\lvert x \rvert}{x}=1, \]
ed ovviamente
\[
\lim_{x\to 0^+}1=1.\]
Si ma lui voleva una spiegazione riguardo alla definizione di limite, è ovvio che questa che hai scritto tu è la spiegazione più semplice(e quindi migliore
), però rispondendogli questo avrei eluso il dubbio principale che non era risolvere l'esercizio, ma capire quel ""dettaglio"" sul $\delta_\epsilon$... 
(o almeno a me è sembrato quello il suo dubbio principale)
Hai ragione, quello sul delta era il dubbio principale. Bisogna rispondere alle domande, non risolvere gli esercizi, la mia risposta è un po' fuori luogo.
Ma si tranquillo, almeno adesso ha anche la soluzione dell'esercizio
In ogni caso sei un signore.
In ogni caso sei un signore.
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