Verifica di un limite con definizione.

[Pasquale 90]

Buonasera, sono di nuovo quì con un ulteriore esercizio sull'applicazione della definizione di limite.

Sia $lim_(x to 0)(x^2)/(2x-1)=0$
Sia il punto di accumulazione e il valore limite sono finiti, per cui devo far fede a:

$lim_(x to x_0)f(x)=l <=> forall epsilon >0 \ EE delta >0 \:\ forall x in dom(f) : 0<|x-x_0|
Siamo ricondotti alla studio della seguente disequazione

$|x^2/(2x-1)|
e verificare che sia soddisfatta in un intorno di $0.$

Fissato $epsilon >0$ occorre risolvere il seguente sistema

\(\displaystyle \ S=\begin{cases} \epsilon>0 \\ \tfrac{x^2}{2x-1}<\epsilon \\ \tfrac{x^2}{2x-1}>-\epsilon \end{cases} \)

La prima disequazione del sistema $S$ è soddisfatta in tutto $RR.$
Considero la seconda disequazione quindi

$x^2/(2x-1) (x^2-2epsilonx+epsilon)/(2x-1)<0$

Studio del segno del numeratore
$x^2-2epsilonx+epsilon>0$ sia l'equazione associata $x^2-2epsilonx+epsilon=0$ quindi si ha
$Delta=4epsilon(epsilon-1)$ si ha $Delta >0 <=> epsilon<0\ "o" \ epsilon>1$ la prima deve essere scartata perchè non rientra nella definzione di limite, quindi rimane per $epsilon>1$.
Ora vi chiedo ma per $0 Quello che posso dire che per tale valore $Delta le 0$ quindi $x^2-2epsilonx+epsilon ge 0, \ forall x in RR $ per cui $x^2-2epsilonx+epsilon< 0$ mai ossia $X = emptyset$

Inoltre per il valore di $epsilon>1$ ho fatto lo svolgimento e mi trovo un intorno di $0$ ma prima vorrei sapere se ha senso riportarlo e in più è corretto quello che ho scritto fin quì...cosi mi risparmio un bel pò di fatica


Ciao

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Risposte

Studente Anonimo

17 feb 2020, 20:03

Per semplificare la discussione del sistema di disequazioni parametriche:

$\{(x^2/(2x-1) gt -\epsilon),(x^2/(2x-1) lt \epsilon):} rarr \{((x^2+2\epsilonx-\epsilon)/(2x-1) gt 0),((x^2-2\epsilonx+\epsilon)/(2x-1) lt 0):}$

1. Poiché la consegna richiede un intorno di $x=0$:

$\{((x^2+2\epsilonx-\epsilon)/(2x-1) gt 0),((x^2-2\epsilonx+\epsilon)/(2x-1) lt 0):} rarr \{(x^2+2\epsilonx-\epsilon lt 0),(x^2-2\epsilonx+\epsilon gt 0):}$

(si evita di discutere una disequazione fratta)

2. Poiché i valori significativi di $\epsilon$ sono quelli "piccoli":

$\{(x^2+2\epsilonx-\epsilon lt 0),(x^2-2\epsilonx+\epsilon gt 0):} rarr \{([x^2+2\epsilonx-\epsilon lt 0] ^^ [\Delta(\epsilon)=\epsilon^2+\epsilon gt 0]),([x^2-2\epsilonx+\epsilon gt 0] ^^ [\Delta(\epsilon)=\epsilon^2-\epsilon lt 0]):}$

(si evita di discutere una disequazione di secondo grado al variare del segno del discriminante)

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Pasquale 90

17 feb 2020, 20:51

Grazie per avermi risposto. Comunque nel primo punto, come fai ad eliminare il denominatore? Essendo che in un intorno di zero si hanno valori positivi e negativi, per cui il segno della disequazione cambia.

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Studente Anonimo

18 feb 2020, 06:46

"Pasquale 90":
... per cui il segno della disequazione cambia.

Intanto, una disequazione, a differenza di un'espressione, non ha un segno, piuttosto, un "verso". Inoltre, se ti accontenti di un intorno simmetrico di $x=0$ di raggio $r lt 1/2$ (la consegna richiede un intorno per ogni valore di $\epsilon$, non necessariamente l'intorno massimale per ogni valore di $\epsilon$):

$-1/2 lt x lt 1/2$

il denominatore delle due frazioni è sempre negativo:

$[2x-1 lt 0] rarr [x lt 1/2]$

motivo per il quale puoi evitare di discutere due disequazioni fratte. Insomma, non è il segno di $x$ che consente di eliminare i denominatori, piuttosto, il segno di $2x-1$. In definitiva:

$\{(x^2/(2x-1) gt -\epsilon),(x^2/(2x-1) lt \epsilon):} rarr \{((x^2+2\epsilonx-\epsilon)/(2x-1) gt 0),((x^2-2\epsilonx+\epsilon)/(2x-1) lt 0):} rarr \{([x^2+2\epsilonx-\epsilon lt 0] ^^ [\Delta(\epsilon)=\epsilon^2+\epsilon gt 0]),([x^2-2\epsilonx+\epsilon gt 0] ^^ [\Delta(\epsilon)=\epsilon^2-\epsilon lt 0]):} rarr$

$rarr \{(-\epsilon-sqrt(\epsilon^2+\epsilon) lt x lt -\epsilon+sqrt(\epsilon^2+\epsilon)),(AA x in RR),(x lt 1/2),(0 lt \epsilon lt 1):} rarr \{(-\epsilon-sqrt(\epsilon^2+\epsilon) lt x lt -\epsilon+sqrt(\epsilon^2+\epsilon)),(x lt 1/2),(0 lt \epsilon lt 1):}$

P.S.
Troppo spesso ci si imbatte in proposizioni del tipo:
1. L'equazione è uguale a zero per ...
2. La disequazione è maggiore di zero per ...
3. La disequazione è minore di zero per ...
attribuendo un valore numerico a un'equazione e/o a una disequazione. Inaccettabile.

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dissonance

18 feb 2020, 18:48

"anonymous_0b37e9":
P.S.
Troppo spesso ci si imbatte in proposizioni del tipo:
1. L'equazione è uguale a zero per ...
2. La disequazione è maggiore di zero per ...
3. La disequazione è minore di zero per ...
attribuendo un valore numerico a un'equazione e/o a una disequazione. Inaccettabile.

Sono gerghi da studenti delle superiori e sono perfettamente d'accordo con la tua azione di contrasto.

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Studente Anonimo

19 feb 2020, 08:21

"dissonance":
... sono perfettamente d'accordo con la tua azione di contrasto.

E' più forte di me. Insomma, non lo sopporto.

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[Studente Anonimo]

Per semplificare la discussione del sistema di disequazioni parametriche:

$\{(x^2/(2x-1) gt -\epsilon),(x^2/(2x-1) lt \epsilon):} rarr \{((x^2+2\epsilonx-\epsilon)/(2x-1) gt 0),((x^2-2\epsilonx+\epsilon)/(2x-1) lt 0):}$

1. Poiché la consegna richiede un intorno di $x=0$:

$\{((x^2+2\epsilonx-\epsilon)/(2x-1) gt 0),((x^2-2\epsilonx+\epsilon)/(2x-1) lt 0):} rarr \{(x^2+2\epsilonx-\epsilon lt 0),(x^2-2\epsilonx+\epsilon gt 0):}$

(si evita di discutere una disequazione fratta)

2. Poiché i valori significativi di $\epsilon$ sono quelli "piccoli":

$\{(x^2+2\epsilonx-\epsilon lt 0),(x^2-2\epsilonx+\epsilon gt 0):} rarr \{([x^2+2\epsilonx-\epsilon lt 0] ^^ [\Delta(\epsilon)=\epsilon^2+\epsilon gt 0]),([x^2-2\epsilonx+\epsilon gt 0] ^^ [\Delta(\epsilon)=\epsilon^2-\epsilon lt 0]):}$

(si evita di discutere una disequazione di secondo grado al variare del segno del discriminante)

[Pasquale 90]

Grazie per avermi risposto. Comunque nel primo punto, come fai ad eliminare il denominatore? Essendo che in un intorno di zero si hanno valori positivi e negativi, per cui il segno della disequazione cambia.

[Studente Anonimo]

"Pasquale 90":
... per cui il segno della disequazione cambia.

Intanto, una disequazione, a differenza di un'espressione, non ha un segno, piuttosto, un "verso". Inoltre, se ti accontenti di un intorno simmetrico di $x=0$ di raggio $r lt 1/2$ (la consegna richiede un intorno per ogni valore di $\epsilon$, non necessariamente l'intorno massimale per ogni valore di $\epsilon$):

$-1/2 lt x lt 1/2$

il denominatore delle due frazioni è sempre negativo:

$[2x-1 lt 0] rarr [x lt 1/2]$

motivo per il quale puoi evitare di discutere due disequazioni fratte. Insomma, non è il segno di $x$ che consente di eliminare i denominatori, piuttosto, il segno di $2x-1$. In definitiva:

$\{(x^2/(2x-1) gt -\epsilon),(x^2/(2x-1) lt \epsilon):} rarr \{((x^2+2\epsilonx-\epsilon)/(2x-1) gt 0),((x^2-2\epsilonx+\epsilon)/(2x-1) lt 0):} rarr \{([x^2+2\epsilonx-\epsilon lt 0] ^^ [\Delta(\epsilon)=\epsilon^2+\epsilon gt 0]),([x^2-2\epsilonx+\epsilon gt 0] ^^ [\Delta(\epsilon)=\epsilon^2-\epsilon lt 0]):} rarr$

$rarr \{(-\epsilon-sqrt(\epsilon^2+\epsilon) lt x lt -\epsilon+sqrt(\epsilon^2+\epsilon)),(AA x in RR),(x lt 1/2),(0 lt \epsilon lt 1):} rarr \{(-\epsilon-sqrt(\epsilon^2+\epsilon) lt x lt -\epsilon+sqrt(\epsilon^2+\epsilon)),(x lt 1/2),(0 lt \epsilon lt 1):}$

P.S.
Troppo spesso ci si imbatte in proposizioni del tipo:
1. L'equazione è uguale a zero per ...
2. La disequazione è maggiore di zero per ...
3. La disequazione è minore di zero per ...
attribuendo un valore numerico a un'equazione e/o a una disequazione. Inaccettabile.

[dissonance]

"anonymous_0b37e9":
P.S.
Troppo spesso ci si imbatte in proposizioni del tipo:
1. L'equazione è uguale a zero per ...
2. La disequazione è maggiore di zero per ...
3. La disequazione è minore di zero per ...
attribuendo un valore numerico a un'equazione e/o a una disequazione. Inaccettabile.

Sono gerghi da studenti delle superiori e sono perfettamente d'accordo con la tua azione di contrasto.

[Studente Anonimo]

"dissonance":
... sono perfettamente d'accordo con la tua azione di contrasto.

E' più forte di me. Insomma, non lo sopporto.