Verifica di un limite

[morbibi]

Salve a tutti.
La domanda può risultare piuttosto banale, ma io non riesco bene a comprendere come verificare i limiti attraverso la definizione. Per fare un esempio io devo verificare questo limite, chiaramente errato: $lim_(x->-1)(x^2+4x+2)=0$
Allora applicando la definizione deve valere che: $AA\epsilon>0, EE\delta>0// |x+1|<\delta\Rightarrow|f(x)-0|<\epsilon$

Allora inizio a calcolare $|x^2+4x+2|<\epsilon$ ovvero ${(x^2+4x+2<\epsilon),(x^2+4x+2>--\epsilon):}$
Che viene (salvo errori di calcolo):
${(-2-\sqrt(2+\epsilon)-2+sqrt(2-\epsilon)):}$
Quindi:
$-2-sqrt(2+\epsilon)
Ora però non so quali passaggi fare per procedere...Come si termina?

Grazie mille e scusate la domanda un po' scema ^^''

[Camillo]

La soluzione della disequazione avrebbe dovuto essere un intorno di $-1 $ , invece non è così , quindi il limite non è $0 $.
Prova a mettere quello che è il limite vero per $ x rarr -1 $ che vale $-1 $ , ti deve venire come soluzione un intorno di $-1$.

[morbibi]

Mi dispiace ma continuo a non capire...Ora poniamo il limite giusto e tentiamo di verificarlo:
$lim_(x->-1)(x^2+4x+2)=-1$
E quindi:
$|x^2+4x+2|<\epsilon$
Calcolando mi viene:
$-2-sqrt(1+\epsilon)
E mi blocco di nuovo!

[@melia]

Devi verificare che esistono dei valori di $epsilon$ per cui $-1$ non appartiene a nessuno dei due intervalli, mi pare, ricontrolla i calcoli, che questo succeda per $0

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[morbibi]

Mi dispiace, so di essere pesante ma non riesco ad arrivarci. E non vedo neanche perchè dovremmo fare come dici! Mi servirebbe capire, in generale, come si verifica e anche per quale motivo si fa così.
In pratica, dopo aver trovato in quale intervallo si trova la x, bisogna, se ho ben capito, agire sull'altra parte della definizione, ovvero: $AA \epsilon>0, EE \delta>0 // |x+1|<\delta$

Non so come "usare" questa cosa

[@melia]

La frase che hai scritto $AA \epsilon>0, EE \delta>0 // |x+1|<\delta$ inizia con $AA \epsilon>0$ significa che qualunque sia il valore di $epsilon>0$ che provi quello che hai ottenuto resta un intorno del punto cercato, in questo caso $-1$, ti ho mostrato che ci sono dei valori di $epsilon>0$ per i quali questo non è verificato, significa quindi che il limite non è verificato.

[morbibi]

Innanzitutto grazie mille per le risposte e la pazienza Oggi ho ripreso in mano quell'esercizio e ho proceduto in maniera totalmente differente.
Come prima cosa ho dimostrato che $lim_(x->-1)x^2+4x+2=-1$ (ovvero quello giusto) come segue:

$AA \epsilon, EE\delta // |x+1|<\delta rArr |x^2+4x+3|<\epsilon$
$|x^2+4x+3|<\epsilon$
$|x+1||x+3|<\epsilon$
Maggiornado poi con x=0:
$3|x+1|<\epsilon$
$|x+1|<\epsilon/3$

Per tanto esiste sempre un $\delta$ che verifica la condizione, e per l'esattezza: $\delta=\epsilon/3$

È giusto procedere così (spero di sì)? Ma più che altro una strategia simile, ovviamente che si adatti caso a caso, può funzionare in qualsiasi caso? Perchè ad esempio in questo limite ho già più problemi (ma devo ragionarci un po'): $lim_(x->1)cos(\pix)=-1$

Inoltre ho un'altra domanda, ovvero come dimostrare, sempre con questo modo, che $lim_(x->-1)x^2+4x+2=0$ è invece sbagliato. Io ho proceduto così:

$AA \epsilon, EE\delta // |x+1|<\delta rArr |x^2+4x+2|<\epsilon$
$|x^2+4x+2|<\epsilon$
$|x+2+sqrt(2)||x+2-sqrt(2)|<\epsilon$
Maggiorando poi sempre con x=0, ottengo:
$|2+sqrt(2)||x+2-sqrt(2)|<\epsilon$
$|x+2-sqrt(2)|<\epsilon/(2+sqrt(2))$

E questo non è un'intorno di -1, ma di $-2+sqrt(2)$! Analogamente si vede che c'è un altro intorno di $-2-sqrt(2)$. Questo è sufficiente per dire che il limite è sbagliato? Oppure dire che vale per altri due intorni non è sufficiente?

Grazie in anticipo