Verifica di un limite.
Buonasera,
verificare il seguente limite \(\displaystyle lim_{x\to -\infty} \tfrac{(x+1)log|x|}{x^3}=0 \).
Ci troviamo nella situazione : \(\displaystyle \forall \epsilon>0 ; \exists c\in\mathbb{R} : \forall x \in \mathbb{R}:x
Comunque il mio libro verifica il limite facendo dei confronti grafici, cioè procede nel seguente modo:
Confrontando i grafici delle funzioni \(\displaystyle log|x| \) e \(\displaystyle |x| \) si riconosce subito che, per ogni \(\displaystyle x<-1 \), si ha \(\displaystyle log|x|=log(-x)\le -x=|x| \) e conseguentemente:
\(\displaystyle \tfrac{(x+1)log|x|}{x^3}\le\tfrac{(x+1)|x|}{x^3}=\tfrac{(x+1)}{x^2}\le\tfrac{|x|}{x^2}+\tfrac{1}{x^2}=\tfrac{1}{|x|}+\tfrac{1}{x^2} \).
Quello che dobbiamo fare è trovare un \(\displaystyle \epsilon >0 \) tale che la somma all'ultimo membro è minore di \(\displaystyle \epsilon \) in un intorno di \(\displaystyle -\infty \), cioè per esempio\(\displaystyle \tfrac{1}{|x|}<\tfrac{\epsilon}{2} ; \tfrac{1}{x^2}<\tfrac{\epsilon}{2} \); la prima disuguaglianza è vera non appena \(\displaystyle x<-\tfrac{2}{\epsilon} \) e la seconda \(\displaystyle x<-\tfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{\epsilon}} \).
Trovato il minimo \(\displaystyle c \), cioè \(\displaystyle c=min(-1,-\tfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{\epsilon}},-\tfrac{2}{\epsilon}) \),possiamo considerare che per ogni \(\displaystyle x\in]-\infty,c[ \),si ha
\(\displaystyle \tfrac{(x+1)log|x|}{x^3}\le\tfrac{1}{|x|}+\tfrac{1}{x^2}<\tfrac{\epsilon}{2}+\tfrac{\epsilon}{2}=\epsilon \)
1) Perché fa il confronto grafico tra \(\displaystyle log|x| \) e \(\displaystyle |x| \) inoltre da dove lo prende il valore assoluto? La mia supposizione a riguardo è il \(\displaystyle log|x| \), è una funzione composta cioè possiamo vederlo come \(\displaystyle log|f(x)| \), considerando che la \(\displaystyle x\to-\infty \) il grafico di \(\displaystyle log|x|\le|x| \).
Penso che fa questa maggiorazione proprio per rendersi i calcoli più facili, cioè per trovarsi dei valori finali, più maneggevoli.
Giusto ?
cordiali saluti
verificare il seguente limite \(\displaystyle lim_{x\to -\infty} \tfrac{(x+1)log|x|}{x^3}=0 \).
Ci troviamo nella situazione : \(\displaystyle \forall \epsilon>0 ; \exists c\in\mathbb{R} : \forall x \in \mathbb{R}:x
Comunque il mio libro verifica il limite facendo dei confronti grafici, cioè procede nel seguente modo:
Confrontando i grafici delle funzioni \(\displaystyle log|x| \) e \(\displaystyle |x| \) si riconosce subito che, per ogni \(\displaystyle x<-1 \), si ha \(\displaystyle log|x|=log(-x)\le -x=|x| \) e conseguentemente:
\(\displaystyle \tfrac{(x+1)log|x|}{x^3}\le\tfrac{(x+1)|x|}{x^3}=\tfrac{(x+1)}{x^2}\le\tfrac{|x|}{x^2}+\tfrac{1}{x^2}=\tfrac{1}{|x|}+\tfrac{1}{x^2} \).
Quello che dobbiamo fare è trovare un \(\displaystyle \epsilon >0 \) tale che la somma all'ultimo membro è minore di \(\displaystyle \epsilon \) in un intorno di \(\displaystyle -\infty \), cioè per esempio\(\displaystyle \tfrac{1}{|x|}<\tfrac{\epsilon}{2} ; \tfrac{1}{x^2}<\tfrac{\epsilon}{2} \); la prima disuguaglianza è vera non appena \(\displaystyle x<-\tfrac{2}{\epsilon} \) e la seconda \(\displaystyle x<-\tfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{\epsilon}} \).
Trovato il minimo \(\displaystyle c \), cioè \(\displaystyle c=min(-1,-\tfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{\epsilon}},-\tfrac{2}{\epsilon}) \),possiamo considerare che per ogni \(\displaystyle x\in]-\infty,c[ \),si ha
\(\displaystyle \tfrac{(x+1)log|x|}{x^3}\le\tfrac{1}{|x|}+\tfrac{1}{x^2}<\tfrac{\epsilon}{2}+\tfrac{\epsilon}{2}=\epsilon \)
1) Perché fa il confronto grafico tra \(\displaystyle log|x| \) e \(\displaystyle |x| \) inoltre da dove lo prende il valore assoluto? La mia supposizione a riguardo è il \(\displaystyle log|x| \), è una funzione composta cioè possiamo vederlo come \(\displaystyle log|f(x)| \), considerando che la \(\displaystyle x\to-\infty \) il grafico di \(\displaystyle log|x|\le|x| \).
Penso che fa questa maggiorazione proprio per rendersi i calcoli più facili, cioè per trovarsi dei valori finali, più maneggevoli.
Giusto ?
cordiali saluti
Risposte
Mi sembra più pulito dire semplicemente che \(\frac{x+1}{x^3}\) è infinitesimo asintotico a \(\frac{1}{x^2}\), e \(\frac{\log|x|}{x^2}\xrightarrow{x\to-\infty}0\), cosa che puoi verificare ad esempio sapendo che per \(|x|\gg 1\) si ha $\log |x| \le x-1$.
Ciao Killing_buddha,
non ho ancora incontrato questi termini che hai proposto
la mia supposizione è corretta ?
cordiali saluti
non ho ancora incontrato questi termini che hai proposto
la mia supposizione è corretta ?
cordiali saluti
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