Verifica di limite di successione

[Lodosage]

Per esempio prendendo \lim_{n\to ∞}1/n=0 il libro lo verifica ponendo |a_n-a| < \varepsilon e dunque arrivando a scrivere n > 1/\varepsilon e ponendo ciò uguale a \nu, io mi chiedo a cosa mi porti fare questi passaggi siccome prendendo ad esempio \lim_{n\to ∞}1/n=1 e facendo gli stessi passaggi cioè arrivando a scrivere n > -1/(\varepsilon-1) = \nu...

[gugo82]

L'idea che sta dietro l'uso della definizione $\epsilon - \nu$ del limite nella pratica è questo: $a$ è il limite di $(a_n)$ se, per ogni valore del parametro $\epsilon >0$,[nota]O, quanto meno, per ogni valore di $\epsilon$ "sufficientemente piccolo".[/nota] nell'insieme delle soluzioni naturali della disequazione $|a_n - a|<\epsilon$ (nella incognita $n$) è possibile "ritagliare" almeno un sottoinsieme del tipo $]\nu, +\infty[$.

In particolare, nel caso che esamini, le soluzioni della disequazione $|1/n|<\epsilon$ sono tutti i numeri naturali $n>1/\epsilon$; pertanto nell'insieme delle soluzioni della disequazione è possibile "ritagliare" un sottoinsieme del tipo $]\nu , +\infty[$: basta infatti scegliere $\nu = 1/\epsilon$ (oppure $\nu = 1/\epsilon + 47$, oppure $\nu = (27)/\epsilon$, oppure...). Dunque $\lim_n 1/n = 0$.

D'altra parte, se provi a verificare che $\lim_n 1/n =1$ ti trovi subito in difficoltà. Infatti risolvendo la disequazione $|1/n - 1|<\epsilon$ trovi:
\[
1-\frac{1}{n}<\epsilon \quad \Leftrightarrow \quad \frac{1}{n}>1-\epsilon \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} \text{sempre vera} &\text{, se } \epsilon \geq 1\\ n<\frac{1}{1-\epsilon} &\text{, se } \epsilon <1\end{cases}
\]
e perciò non riesci a "ritagliare" alcun sottoinsieme del tipo $]\nu , +\infty[$ nell'insieme delle soluzioni della disequazione quando $\epsilon <1$. Quindi non è vero che $\lim_n 1/n = 1$.

[Lodosage]

in poche parole devo discutere la disequazione con n come incognita giusto?