Verifica di limite di funzione

[qxtr01]

Dovrei verificare, utilizzando la definizione di limite, che $\lim_{x\rightarrow 1}(2x^2+3)=5$, e cioè che $\forall\epsilon>0:\exists\delta\in(1-\delta,1+delta):2x^2+3\in(5-\epsilon,5+\epsilon)$.

Sostanzialmente devo risolvere la disequazione $|(2x^2+3)-5|<\epsilon$, ovvero $|x^2-1|<\frac{\epsilon}{2}$.

Divido in casi:
- caso a): quando $x^2-1\ge 0$ (cioè quando $(x\le -1)\vee(x\ge 1)$) si ha che $(-\sqrt{\frac{\epsilon}{2}+1} - caso b): quando $x^2-1<0$ (cioè quando $-1 - caso b.1): quando $\epsilon>2$, si ha che $-1 - caso b.2): quando $0<\epsilon\le 2$, si ha che $(-1
Ammesso di non aver sbagliato qualcosa nei calcoli, a questo punto dell'esercizio non riesco ad interpretare bene il risultato ottenuto, ovvero non riesco ad individuare l'intorno di 1 e quindi non riesco a concludere che il limite è proprio 5... in cosa sbaglio? Grazie.

[@melia]

Mi sono fidata dei tuoi calcoli visto che i risultati sono assolutamente verosimili.

poiché $\epsilon$ deve poter diventare piccola a piacere le soluzioni sono
quelle del caso a) $(-\sqrt{\frac{\epsilon}{2}+1} $(-\sqrt{\frac{\epsilon}{2}+1} In questo modo hai dimostrato che $\lim_{x\rightarrow 1}(2x^2+3)=5$ avendo ottenuto $(\sqrt{1-\frac{\epsilon}{2}} ma anche che $\lim_{x\rightarrow -1}(2x^2+3)=5$ avendo ottenuto $(-\sqrt{\frac{\epsilon}{2}+1}

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[qxtr01]

Innanzitutto grazie per la risposta. Consideriamo però soltanto il caso a) + b.2), cioè quando $0<\epsilon\le 2$. Hai detto che $(\sqrt{1-\frac{\epsilon}{2}},\sqrt{\frac{\epsilon}{2}+1})$ è un intorno di 1. Ma prendiamo ad esempio $\epsilon=1$. Verrebbe l'intervallo $(0.707,1.224)$, che non è un intorno, in quanto $1-0.707=0.293$ mentre $1.224-1=0.224$. Semmai potremmo dire che questo intervallo contiene l'intorno desiderato, che è dire un'altra cosa. Ancora però non mi riesce di esplicitare a dovere questo intorno... (ho difficoltà con le radici).

[@melia]

Dipende da come interpreti, per me un intorno è un qualunque aperto che contenga un intorno circolare.

[gugo82]

"qxtr01":Dovrei verificare, utilizzando la definizione di limite, che $\lim_{x\rightarrow 1}(2x^2+3)=5$, e cioè che $\forall\epsilon>0:\exists\delta\in(1-\delta,1+delta):2x^2+3\in(5-\epsilon,5+\epsilon)$.

Ti manca un pezzo nella definizione di limite:

$AA epsilon>0, exists delta>0: quad AA x in ]1-delta,1+delta[, 2x^2+3 in ]5-epsilon, 5+epsilon[$.

[qxtr01]

Si scusa ho sbagliato a ricopiare il testo...
Grazie per avermelo fatto notare.

[adaBTTLS1]

il procedimento algebrico ti ha permesso di trovare un intorno generico. se vuoi un intorno circolare, basta prendere un qualsiasi $delta$ maggiore di zero ed non più grande del più piccolo tra i due valori: {$1-sqrt(1-epsilon/2), sqrt(1+epsilon/2)-1$}.
se non mi sbaglio, con qualche calcolo si vede che $1-sqrt(1-epsilon/2)>sqrt(1+epsilon/2)-1$ è sempre verficata,
per cui si può prendere $delta=sqrt(1+epsilon/2)-1$.

ad esempio, con il calcolo fatto da te, se $epsilon=1$, i due valori sono 0.293 e 0.224; puoi prendere, ad esempio, $delta=0.22$, e sei certa che se $x in (1-0.22, 1+0.22)$, cioè se $0.78

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[qxtr01]

Forse ci sono riuscito. Se non ho sbagliato i conti, le espressioni degli intorni dovrebbero essere le seguenti:
- per $0<\epsilon\le 2$, $(\sqrt{1-\frac{\epsilon}{2}},2-\sqrt{1-\frac{\epsilon}{2}})$
- per $\epsilon>2$, $(2-\sqrt{\frac{\epsilon}{2}+1},\sqrt{\frac{\epsilon}{2}+1})$

[adaBTTLS1]

il primo è corretto perché corrisponde a $(1-(1-sqrt(1-epsilon/2)), 1+(1-sqrt(1-epsilon/2)))$.
l'altro non l'ho controllato, presumo sia anch'esso esatto, ma dato che sono entrambi intorni di $1$ non è possibile prenderne uno solo che sia contenuto in entrambi?

EDIT: ho ricontrollato che l'altro è quello ottenuto con l'altro valore di $delta=sqrt(1+epsilon/2)-1$ che è sempre maggiore del precedente.
è così? allora è il caso di considerare il primo intervallo senza distinguere tra $epsilon$ maggiore uguale o minore di 2.

ciao.

[qxtr01]

Il fatto è che l'espressione del primo intorno va bene solo per $0<\epsilon\le 2$ (altrimenti la radice verrebbe con argomento negativo) mentre affinchè sia verificata la definizione di limite si deve consentire ad $\epsilon$ di essere un positivo qualunque... L'importante credo sia aver trovato comunque un intorno sia nel primo che nel secondo caso...

[gugo82]

La definizione è verificata comunque, anche con delle limitazioni di $epsilon$ "dall'alto".

Infatti, se si trova una limitazione del tipo $00$, basta prendere:

$delta :=\{(delta_epsilon, ", se " 0= \bar(epsilon)):}$

Questo fatto funziona per le proprietà della struttura d'ordine, ossia per la proprietà transitiva. Invero quando si prende $epsilon >=\bar(epsilon)$ e si fissa come detto sopra $delta=delta_\bar(epsilon)$, per la proprietà di $\delta_\bar(epsilon)$ si trova:

$AA x in ]x_0-delta, x_0+delta[ \setminus \{ x_0\} =]x_0-delta\bar(epsilon), x_0+delta_\bar(epsilon)[ \setminus \{ x_0\} , |f(x)-l|<\bar(epsilon)<=epsilon$

che è quanto si voleva.