Verifica di limite

[peppes1]

$limx->5-$ $(x-7)/(x-5) = +oo$ Per ogni E>0 esiste dE>0 tc per ogni x appartenente ad R/{5} e 0 diverso da x-5 $|(x-7)/(x-5)|>E$
Poiche' abbiamo limx->5- consideriamo solo:$|(x-7)/(x-5)|> -E$
$(x-7)/(x-5)-E>0$
$[x-7 -xE+5E]$ poiche' il denominatore e >0; x>5 non lo trattiamo piu'
$-x(-1+E)-7+5>0$
$x<(-7+5)/(-1+E)$ E' giusta?

[regim]

Non credo sia corretta, vedi questa sotto, anche se questi tipi di verifiche sono sempre un po' noiose, all'inizio, conviene farle, ciao.

Devi dimostrare il limite da sinistra, quindi il denominatore è sempre negativo, ed $E>0$


1) $(x-7)/(x-5) > E$ supposto $x < 5$ questo accade quando:

$x-7 < x*E - 5*E$ cioè $x*(1-E) < 7-5*E$ supposto $E>1$ la 1) sarà soddisfatta quando:

$7 / (1-E)- (5*E)/(1-E) = 5/(1-1/E) + 7/(1-E) < x $ quindi, a maggior ragione, essendo:

$ 5/(1-1/E) < 5$ e $7/(1-E) = -7/(E-1) < 0$ posto $epsilon = 7/(E-1) >0 $ che tende a zero per $E->+oo$ si avrà:

$5/(1-1/E) + 7/(1-E) = 5/(1-1/E) - epsilon < 5 -epsilon$

E quindi la 1) è soddisfatta per $5 - epsilon < x < 5$ $epsilon > 0$ dato dall'espressione sopra.

Ricapitolando: fissato $E > 1$, scelto $epsilon$ come l'espressione sopra, la relazione 1) sarà soddisfatta in uno opportuno intorno sinistro di $5$.