Verifica delle relazioni su due insiemi
Mi sono da poco iscritto all'università di Informatica, e devo recuperare Analisi Matematica per mettermi in pari agli argomenti delle lezioni. Ora sto studiando gli insiemi e le sue relazioni. Ho un esercizio che chiede di verificare tale relazione:
X \(\subseteq \) Y Se e solo se Complementare di Y \(\subseteq \) Complementare di X
Non ho problemi nel capire tale relazione, ma nel verificarla. Nel mio libro non è presente una guida step by step, quindi mi trovo un po in difficoltà su come svolgere questi esercizi. Qualcuno che conosce una buona guida da potermi leggere?
X \(\subseteq \) Y Se e solo se Complementare di Y \(\subseteq \) Complementare di X
Non ho problemi nel capire tale relazione, ma nel verificarla. Nel mio libro non è presente una guida step by step, quindi mi trovo un po in difficoltà su come svolgere questi esercizi. Qualcuno che conosce una buona guida da potermi leggere?
Risposte
Devi usare le definizioni di sottoinsieme e di complementare.
"G.D.":
Devi usare le definizioni di sottoinsieme e di complementare.
Sinceramente non ho ben capito cosa intendi, potresti spiegarmi in modo piu' chiaro?
L'esercizio ti chiede di verificare che, dati due insiemi \( X \) e \( Y \) (in un dato universo \( U \)), risulta
\[ X \subseteq Y \text{ se e solo se } \complement_{U} Y \subseteq \complement_{U} X \]
dove \( \complement_{U} X \) e \( \complement_{U} Y \) sono i complementari di \( X \) e \( Y \) nell'universo \( U \).
Innanzitutto devi allora provare due cose (perché c'è un "se e solo se"):
1. se \( X \subseteq Y \), allora \( \complement_{U} Y \subseteq \complement_{U} X \);
2. se \( \complement_{U} Y \subseteq \complement_{U} X \), allora \( X \subseteq Y \).
Posto ciò, sia per provare la 1 che per provare la 2, devi usare le definizioni di sottoinsieme e di complementare.
Per esempio la prova della 1 consiste nel provare che \( \complement_{U} Y \subseteq \complement_{U} X \), assumendo come ipotesi che sia \( X \subseteq Y \); provare che \( \complement_{U} Y \subseteq \complement_{U} X \) significa, in base alla definizione di sottoinsieme, provare che \( \forall a, a \in \complement_{U} Y \implies a \in \complement_{U} X \). Ed allora:
• \( a \in \complement_{U} Y \implies a \in U \land a \notin Y \), per definizione di complementare;
• poiché per ipotesi \( X \subseteq Y \), allora \( a \in X \implies a \in Y \), per definizione di sottoinsieme;
• \( a \in X \implies a \in Y \) è equivalente ad \( a \notin Y \implies a \notin X \), sicché, essendo \( a \in U \land a \notin Y \), è anche \( a \in U \land a \notin X \);
• \( a \in U \land a \notin X \implies a \in \complement_{U} X \), per la definizione di complementare;
quindi: \( a \in \complement_{U} Y \implies a \in U \land a \notin Y \implies a \in U \land a \notin X \implies a \in \complement_{U} X \), ovvero \( a \in \complement_{U} Y \implies a \in \complement_{U} X \), cioè \( \complement_{U} Y \subseteq \complement_{U} X \).
\[ X \subseteq Y \text{ se e solo se } \complement_{U} Y \subseteq \complement_{U} X \]
dove \( \complement_{U} X \) e \( \complement_{U} Y \) sono i complementari di \( X \) e \( Y \) nell'universo \( U \).
Innanzitutto devi allora provare due cose (perché c'è un "se e solo se"):
1. se \( X \subseteq Y \), allora \( \complement_{U} Y \subseteq \complement_{U} X \);
2. se \( \complement_{U} Y \subseteq \complement_{U} X \), allora \( X \subseteq Y \).
Posto ciò, sia per provare la 1 che per provare la 2, devi usare le definizioni di sottoinsieme e di complementare.
Per esempio la prova della 1 consiste nel provare che \( \complement_{U} Y \subseteq \complement_{U} X \), assumendo come ipotesi che sia \( X \subseteq Y \); provare che \( \complement_{U} Y \subseteq \complement_{U} X \) significa, in base alla definizione di sottoinsieme, provare che \( \forall a, a \in \complement_{U} Y \implies a \in \complement_{U} X \). Ed allora:
• \( a \in \complement_{U} Y \implies a \in U \land a \notin Y \), per definizione di complementare;
• poiché per ipotesi \( X \subseteq Y \), allora \( a \in X \implies a \in Y \), per definizione di sottoinsieme;
• \( a \in X \implies a \in Y \) è equivalente ad \( a \notin Y \implies a \notin X \), sicché, essendo \( a \in U \land a \notin Y \), è anche \( a \in U \land a \notin X \);
• \( a \in U \land a \notin X \implies a \in \complement_{U} X \), per la definizione di complementare;
quindi: \( a \in \complement_{U} Y \implies a \in U \land a \notin Y \implies a \in U \land a \notin X \implies a \in \complement_{U} X \), ovvero \( a \in \complement_{U} Y \implies a \in \complement_{U} X \), cioè \( \complement_{U} Y \subseteq \complement_{U} X \).
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