Verifica della densità di $mathbb{R}\\mathbb{Q}$ in $mathbb{R}$.

Fai una domanda Tutte le categorie

compa90

26 gen 2023, 12:34

Buongiorno, sto verificando la densità di $mathbb{R}\\mathbb{Q}$ in $mathbb{R}$.

Riporto le due definizioni che possono ritornare utili a i fini della comprensione.

Chiusura: Sia $E subseteq mathbb{R}^n$, si definisce chiusura di $E$ l'insieme $overline{E}=E cup partialE $, dove $partial E $ punti di frontiera di $E$.
Denso: Sia $E, A subseteq mathbb{R}^n$, l'insieme $E$ è denso in $A$ se $overline{A}=overline{E}$.

Quindi, devo verificare che $overline{mathbb{R}\\mathbb{Q}}=overline{mathbb{R}}$.

Procedo in questa maniera, subito osservo che $mathbb{R}$ contiene i suoi punti di frontiera, dunque $overline{mathbb{R}}=mathbb{R}$.
Dall'altra parte applicando la definizione si ha $overline{mathbb{R}\\mathbb{Q}}=mathbb{R}\\mathbb{Q} cup partial mathbb{R}\\mathbb{Q}$, per cui devo verificare

$mathbb{R}\\mathbb{Q} cup partial mathbb{R}\\mathbb{Q}=mathbb{R}$

Sia l'insieme $mathbb{R}\\mathbb{Q}={x in mathbb{R} \ : \ x notin mathbb{Q}}$, un punto di frontiera per $mathbb{R}\\mathbb{Q}$ per definizione può appartenere, oppure non appartenere a $mathbb{R}\\mathbb{Q}.$
Quindi, l'unica possibilità è la non appartenenza, visto la presenza di $cup$, allora $ x notin mathbb{R}\\mathbb{Q}$ cioè $x in mathbb{Q}$.

Da questo segue che

$x in mathbb{R}\\mathbb{Q} cup partial mathbb{R}\\mathbb{Q} \leftrightarrow x in mathbb{R}\\mathbb{Q} \qquad vee \qquad x in partial mathbb{R}\\mathbb{Q} \leftrightarrow x in mathbb{R} \qquad vee \qquad x in mathbb{Q} \leftrightarrow x in mathbb{R} $

Può andare bene?

Ciao

Risposte

gugo82

26 gen 2023, 15:58

In realtà hai mostrato che valgono le implicazioni a scendere ($=>$) e nemmeno in maniera troppo corretta.

Quello che devi far vedere è che se $x notin RR \setminus QQ$ (i.e., se $x in QQ$) allora $x in partial (RR setminus QQ)$... Il che non mi pare segua dal tuo ragionamento.

compa90

26 gen 2023, 18:02

Ciao, grazie per avermi risposto.
Non capisco questo

"gugo82":
Quello che devi far vedere è che se $ x notin RR \setminus QQ $ (i.e., se $ x in QQ $) allora $ x in partial (RR setminus QQ) $... Il che non mi pare segua dal tuo ragionamento.

ho un'uguaglianza tra due insiemi, per cui basta che faccio vedere la doppia inclusione, giusto ?

Per cui, inizio a far vedere che vale $=>$, cioè $subseteq$.

Sia $ x in mathbb{R}\\mathbb{Q} cup partial mathbb{R}\\mathbb{Q} $ allora $x in mathbb{R}\\mathbb{Q}$ oppure $x in partial mathbb{R}\\mathbb{Q} $.

Se $x in mathbb{R}\\mathbb{Q}$ allora $x in mathbb{R}$ e $ x notin mathbb{Q}$, cioè $x in mathbb{R}$.
Se $x in partial mathbb{R}\\mathbb{Q} $, x è un punto di frontiera per $mathbb{R}\\mathbb{Q}$.

Sul mio libro ho questa osservazione: se $x$ punto di frontiera per un insieme $E subseteq mathbb{R}^n$ allora si ha che $x in E$ oppure $x notin E$, quindi, seguendo questa definizione, ho due possibilità, $x in mathbb{R}\\mathbb{Q}$ oppure $ x notin mathbb{R}\\mathbb{Q}$.
Se ho la prima possibilità, allora ho il caso precedente e quindi ho di nuovo che $x in mathbb{R}$, invece, se ho la seconda possibilità, allora ho che $ x notin mathbb{R}\\mathbb{Q}$, allora $x in mathbb{Q}$.
Non so se posso dire questo: Essendo $mathbb{Q}subseteqmathbb{R}$, allora $x in mathbb{R}$.

Invece, $supseteq$, $x in mathbb{R}$, allora $x in mathbb{R}\\mathbb{Q}$ oppure $x in mathbb{Q}$.
Prendo in considerazione solo questo $x in mathbb{Q}$, in quando, se ho capito quello che mi stai suggerendo devo far vedere questo

$x in mathbb{Q} => x in partial(mathbb{R}\\ mathbb{Q})$

Un punto di frontiera $x$ di $E$ se non è ne interno e ne esterno a $E$.

Suppongo per assurdo che $x$ interno a $mathbb{R}\\ mathbb{Q}$, allora esiste $r>0$ per cui $B_r(x) subseteq mathbb{R}\\ mathbb{Q}$ allora segue $x in mathbb{R}\\ mathbb{Q}$ cioè $x in mathbb{R}$ e $ x notinmathbb{Q}$ ma questo è assurdo per come ci siamo messi. Quindi $x$ non è interno a $mathbb{R}\\ mathbb{Q}$.
Se per assurdo $x$ esterno a $mathbb{R}\\ mathbb{Q}$ allora $x$ è interno a $C(mathbb{R}\\ mathbb{Q})$ allora esiste $r>0$ per cui $B_r(x) subseteq C(mathbb{R}\\ mathbb{Q})$ e quindi $ x in C(mathbb{R}\\ mathbb{Q}) $ cioè $x in mathbb{R}$ e $ x notinmathbb{Q}$ e di nuovo assurdo. Quindi $x$ non è esterno a $mathbb{R}\\ mathbb{Q}$.

gugo82

27 gen 2023, 03:24

Ora si comincia a ragionare.

Chiaramente non serve a nulla provare l'inclusione $overline(RR \setminus QQ) sube RR$ (credo tu possa facilmente capire perché).
Però devi provare quella inversa, cioè:

$RR sube overline(RR \setminus QQ)$.

Per dimostrare quest'ultima inclusione, in fin dei conti, ti basta far vedere che:

$QQ sube overline(RR setminus QQ)$;

ed è banale constatare che, per avere $QQ sube overline(RR setminus QQ)$, ti basta mostrare che:

$QQ sube partial(RR setminus QQ)$,

cioè che i punti $x in QQ$ non sono né interni a $RR setminus QQ$, né interni al suo complementare, cioè $QQ$.
Dato che un $x in QQ$ non può essere interno a $RR setminus QQ$ (perché i punti interni appartengono all'insieme cui sono interni), rimane da mostrare l'implicazione:

se $x in QQ$ allora $x$ non è interno a $QQ$.

Dal tuo ragionamento qui:

"compa90":
Prendo in considerazione solo questo $x in QQ$ [...] Se per assurdo $ x $ esterno a $ mathbb{R}\\ mathbb{Q} $ allora $ x $ è interno a $ C(mathbb{R}\\ mathbb{Q}) $ [$=QQ$, n.d. gugo82] allora esiste $ r>0 $ per cui $ B_r(x) subseteq C(mathbb{R}\\ mathbb{Q}) $ [$=QQ$, n.d. gugo82] e quindi $ x in C(mathbb{R}\\ mathbb{Q}) $ [$=QQ$, n.d. gugo82] [...]

non segue:

"compa90":
[...] cioè $ x in mathbb{R} $ e $ x notinmathbb{Q} $ [...]

bensì $x in QQ$... E grazie, aggiungo io: hai semplicemente riaffermato l'ipotesi!

Insomma, il ragionamento mi pare un po' circolare, perché stai dicendo che $x in QQ => x in QQ$.

Quindi o non ho capito bene come dimostri, o c'è effettivamente qualche problema.
Controlla un po', o cerca di riscrivere meglio.

P.S.: Che libro usi?
Come viene proposta la teoria dei reali? E com'è proposta la teoria dell'ordine $<=$ in $RR$ o $QQ$? Insomma, cosa sai delle proprietà degli insiemi numerici $RR$ e $QQ$ rispetto all'ordine $<=$?
Che definizione hai di densità?

compa90

28 gen 2023, 13:11

Buongiorno gugo82, il libro che uso è Analisi matematica 1 di Sandro Salsa, Carlo Pagani (lo conosci? ti sembra un buon libro?)

La definizione di densità di un insieme è quella che ho riportato nel messaggio iniziale, anche se ne conosco un'altra

$T subseteq R$ denso in $R$ se per ogni $x,y in T, \ x
Questa $ overline(RR \setminus QQ) sube RR $, hai ragione basta leggere con un filo di calma in più la definizione

Fin qui ci sono $ QQ sube partial(RR setminus QQ) $, cioè devo far vedere, se $x in QQ$ allora, $x$ non è ne interno a $RR\\QQ$ e ne interno $QQ$. Se ho capito il suggerimento la prima verifica l'ho fatta bene, rimane da verificare che $x in QQ$ allora $x$ non è interno a $QQ$.
Per assurdo $x$ interno a $QQ$, quindi $exists r >0$ per cui $B_r(x)$ è contenuto interamente in $QQ$, cioè

$B_r(x)={y in RR: |x-y|Quest'ultima non è verificata, perché $QQ$ è denso in $RR$.

Cosi va bene ?

gugo82

29 gen 2023, 09:03

"compa90":
il libro che uso è Analisi matematica 1 di Sandro Salsa, Carlo Pagani (lo conosci? ti sembra un buon libro?)

È un buon libro, ma non mi piace come costruisce i reali.

"compa90":
La definizione di densità di un insieme è quella che ho riportato nel messaggio iniziale, anche se ne conosco un'altra

$T subseteq R$ denso in $R$ se per ogni $x,y in T, \ x

Sono due cose differenti, ma correlate.
Quella che vuoi dimostrare tu è la densità "topologica", mentre quella che hai definito qui sopra è la densità rispetto ad un ordine.
Credo tu sappia che $QQ$ è denso in sé ed in $RR$ rispetto all'ordine naturale; ma hai dimostrato che $RR \setminus QQ$ è denso in $RR$ rispetto all'ordine? O lo sai dimostrare?

"compa90":
[...] rimane da verificare che $x in QQ$ allora $x$ non è interno a $QQ$.
Per assurdo $x$ interno a $QQ$, quindi $exists r >0$ per cui $B_r(x)$ è contenuto interamente in $QQ$, cioè
$B_r(x)={y in RR: |x-y|Quest'ultima non è verificata, perché $QQ$ è denso in $RR$.

Cosa c'entra il fatto che $QQ$ è denso in $RR$?
Dovresti spiegare meglio.

compa90

29 gen 2023, 12:25

Buongiorno

"gugo82":

Credo tu sappia che $ QQ $ è denso in sé ed in $ RR $ rispetto all'ordine naturale

Si, secondo la definizione che ho dato per ultimo, è ovvio che $QQ$ è denso in sé.

Invece, ora sto provando che $RR\\QQ$ è denso in $RR$

"gugo82":
Cosa c'entra il fatto che $ QQ $ è denso in $ RR $?

penso di far confusione logica: devo far vedere

$x in QQ$ allora x non è interno a $QQ$.

Utilizzando la metodologia per assurdo, significa che, negando la tesi devo ottenere una contraddizione dell'ipotesi, cioè $x notin QQ$.

Ora, se considero una delle proprietà principali degli intorni, cioè quella per cui ogni intorno di un punto contiene il punto stesso e che $QQ$ è denso in $RR$, queste due cose mi dovrebbe portare a dire che $x notin QQ$.

Chiedo scusa per aver fatto confusione.

gugo82

29 gen 2023, 14:57

"compa90":
[quote="gugo82"]
Credo tu sappia che $ QQ $ è denso in sé ed in $ RR $ rispetto all'ordine naturale

Si, secondo la definizione che ho dato per ultimo, è ovvio che $QQ$ è denso in sé.

Invece, ora sto provando che $RR\\QQ$ è denso in $RR$[/quote]
Occhio, che sono due nozioni di densità differenti.

"compa90":
[quote="gugo82"] Cosa c'entra il fatto che $ QQ $ è denso in $ RR $?

penso di far confusione logica: devo far vedere

$x in QQ$ allora x non è interno a $QQ$.

compa90

29 gen 2023, 17:27

Se ogni intorno non è contenuto in $QQ$ perché $QQ$ è denso, questo mi dice che non esiste nessuna $x$ di tale intorno ad appartenere $QQ$
Poiché ogni intorno di un punto contiene quel punto, allora per quello appena detto nemmmeno $x$ appartiene $QQ$.

Se non è così, non so come fare...qualche suggerimento sono bene accetti

Invece, per quanto concerne le due definizione e il fatto che $QQ$ sia denso in $RR$... penso che farò i topic

gugo82

29 gen 2023, 18:09

"compa90":
Se ogni intorno non è contenuto in $ QQ $ perché $ QQ $ è denso questo mi dice che non esiste nessuna $ x $ di tale intorno ad appartenere $ QQ $

Davvero?!?!
Credo tu debba rivedere un po' di cosette...

compa90

31 gen 2023, 12:54

"gugo82":

Credo tu debba rivedere un po' di cosette...

tipo?

Un intorno del tipo $B_r(x)={y in RR: |x-y|0$ e $x in QQ$, non è contenuto in $RR$, mi sbaglio ?

gugo82

1 feb 2023, 17:11

"compa90":
[quote="gugo82"]
Credo tu debba rivedere un po' di cosette...

tipo?

Un intorno del tipo $ B_r(x)={y in RR: |x-y|$, dove $ r>0 $ e $ x in QQ $, non è contenuto in $ RR $, mi sbaglio ?[/quote]
Per favore, rileggi con calma e vedi se ti suona...

compa90

3 feb 2023, 11:26

No...
Io devo far vedere che $x in QQ$ allora $x$ non è interno in $QQ$, questo significa a parole che preso un $x$ in $QQ$ allora non esiste nessun intorno di esso che sia contenuto in $QQ$.

Se la precedente affermazione è corretta, penso che la si potrebbe dimostrare per assurdo.

Dunque, suppongo che esiste un intorno di un generico punto $x$ di $QQ$ di raggio $r>0$, quindi dall'ipotesi assurda, allora, tale intorno deve essere, per definizione di punto interno, contenuto in $QQ$ e cioè si ha da tale ipotesi assurda che

$ B_r(x)={y in RR: |x-y|

Mi indica dov'è l'errore

Rispondi

Per rispondere a questa discussione devi prima effettuare il login.

Verifica della densità di $mathbb{R}\\mathbb{Q}$ in $mathbb{R}$.

Segnala Post di