Verifica del Teorema della Divergenza di Gauss su Cono
Buonasera a tutti! Scusate la domanda ma è tutto il pomeriggio che provo a capire dove sbaglio, ma non riesco a venirne a capo...
L'esercizio richiede la verifica del Teorema di Gauss sulla divergenza, quindi teoricamente sia l'integrale sul Volume che sulla Superficie del cono dovrebbero combaciare... l'esercizio in questione è il seguente:
Dato un campo vettoriale
$F=(-x ,3y , 2z^2 ) $ Verificare il teorema della divergenza su: $D(F)={x in R^3 : x^2+y^2=z^2 ; 0<=z<=5}$
Il Dominio è un cono rovesciato con il vertice nell'origine e delimitato dal piano z=5, vale anche che il raggio è uguale all'altezza, quindi utilizzo le coordinate cilindriche per parametrizzare il cono:
$\{(x=\rhocos\phi),(y=\rhocos\phi),(z=\rho):}$ $ \rho d\rho d\phi dz $ $\rho in [0,5] \phi in [0,2\pi] z in [0, \rho] $
quindi procedo con l'integrale sul volume, calcolando prima $ DivF=(2+4z) $
$\int_0^5 int_0^(2\pi) int_0^\rho (4+4\rho)\rho dz d\phi d\rho $ =
$\int_0^5 int_0^(2\pi) 2\rho^2 d\phi d\rho + \int_0^5 int_0^(2\pi) 4\rho^3 d\phi d\rho$
$ = (4250\pi)/3$
Procedo quindi al calcolo degli integrali di superficie, il Cono ne ha due, una è la circonferenza in cima e l'altra è la superficie laterale. Inizio con la circonferenza:
$\Sigma: (\rho cos\phi, \rhosin\phi, 5) -> \phi in [0,5] \rho in [0,2\pi] $
$ N=(0,0,\rho) $ Ricordanto che $F=(-x ,3y , 2z^2 ) $
$\int_0^5 int_0^(2\pi) (-\rhocos\phi,3\rhosin\phi,50) * (0,0,\rho) d\phi d\rho$
$\int_0^5 int_0^(2\pi) 50\rho d\phi d\rho = 1250\pi$
Calcolo ora sulla superficie laterale:
$\Sigma: (\rhocos\phi, \rhosin\phi, \rho)$
$N: (-\rhocos\phi, -\rhosin\phi, \rho)$
$\int_0^5 int_0^(2\pi) (-\rhocos\phi,3\rhosin\phi,2\rho^2) * (-\rhocos\phi, -\rhosin\phi, \rho) d\phi d\rho$
$\int_0^5 int_0^(2\pi) -\rho^2cos^2\phi = (125\pi)/3$
$\int_0^5 int_0^(2\pi) -\rho^2sin^2\phi = -125pi$
$\int_0^5 int_0^(2\pi) 2\rho^3 = 625\pi$
$=(1625\pi)/3$
Sommando con il flusso dell'altro integrale: $(1625\pi)/3+1250\pi=(5375\pi)/3$ Non confermando quindi quanto enunciato dal Teorema... Ho rifatto l'esercizio molte volte, provato a giocare un po' con delle componenti delle normali o provando altri approcci ma nulla, la cosa che mi sta facendo impazzire è che altri esercizi con dati diversi lo stesso procedimento funzionava... Spero possiate aiutarmi mi scuso se alla fine si tratterà di un errore banale
L'esercizio richiede la verifica del Teorema di Gauss sulla divergenza, quindi teoricamente sia l'integrale sul Volume che sulla Superficie del cono dovrebbero combaciare... l'esercizio in questione è il seguente:
Dato un campo vettoriale
$F=(-x ,3y , 2z^2 ) $ Verificare il teorema della divergenza su: $D(F)={x in R^3 : x^2+y^2=z^2 ; 0<=z<=5}$
Il Dominio è un cono rovesciato con il vertice nell'origine e delimitato dal piano z=5, vale anche che il raggio è uguale all'altezza, quindi utilizzo le coordinate cilindriche per parametrizzare il cono:
$\{(x=\rhocos\phi),(y=\rhocos\phi),(z=\rho):}$ $ \rho d\rho d\phi dz $ $\rho in [0,5] \phi in [0,2\pi] z in [0, \rho] $
quindi procedo con l'integrale sul volume, calcolando prima $ DivF=(2+4z) $
$\int_0^5 int_0^(2\pi) int_0^\rho (4+4\rho)\rho dz d\phi d\rho $ =
$\int_0^5 int_0^(2\pi) 2\rho^2 d\phi d\rho + \int_0^5 int_0^(2\pi) 4\rho^3 d\phi d\rho$
$ = (4250\pi)/3$
Procedo quindi al calcolo degli integrali di superficie, il Cono ne ha due, una è la circonferenza in cima e l'altra è la superficie laterale. Inizio con la circonferenza:
$\Sigma: (\rho cos\phi, \rhosin\phi, 5) -> \phi in [0,5] \rho in [0,2\pi] $
$ N=(0,0,\rho) $ Ricordanto che $F=(-x ,3y , 2z^2 ) $
$\int_0^5 int_0^(2\pi) (-\rhocos\phi,3\rhosin\phi,50) * (0,0,\rho) d\phi d\rho$
$\int_0^5 int_0^(2\pi) 50\rho d\phi d\rho = 1250\pi$
Calcolo ora sulla superficie laterale:
$\Sigma: (\rhocos\phi, \rhosin\phi, \rho)$
$N: (-\rhocos\phi, -\rhosin\phi, \rho)$
$\int_0^5 int_0^(2\pi) (-\rhocos\phi,3\rhosin\phi,2\rho^2) * (-\rhocos\phi, -\rhosin\phi, \rho) d\phi d\rho$
$\int_0^5 int_0^(2\pi) -\rho^2cos^2\phi = (125\pi)/3$
$\int_0^5 int_0^(2\pi) -\rho^2sin^2\phi = -125pi$
$\int_0^5 int_0^(2\pi) 2\rho^3 = 625\pi$
$=(1625\pi)/3$
Sommando con il flusso dell'altro integrale: $(1625\pi)/3+1250\pi=(5375\pi)/3$ Non confermando quindi quanto enunciato dal Teorema... Ho rifatto l'esercizio molte volte, provato a giocare un po' con delle componenti delle normali o provando altri approcci ma nulla, la cosa che mi sta facendo impazzire è che altri esercizi con dati diversi lo stesso procedimento funzionava... Spero possiate aiutarmi mi scuso se alla fine si tratterà di un errore banale
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