Verifica del risultato di un integrale indefinito

[Nick_931]

Buongiorno ragazzi =)
vorrei chiedervi se potreste aiutarmi a capire perchè

$\int \frac{dl}{\sqrt{l^2+r^2}}=ln|l+\sqrt{l^2+r^2}|+C$

perchè sto facendo calcoli su calcoli ma credo di sbagliare completamente approccio

[Obidream]

Anche se la sezione è sbagliata, io farei in questo modo:

$int (dl)/sqrt(l^2+r^2)$

$ int (dl)/(sqrt(r^2)*sqrt(l^2/r^2+1))$

( suppongo però che $r>0$)

$ int (dl)/(r*sqrt(l^2/r^2+1)$

A questo punto pongo una sostituzione del tipo $l/r=t$ da cui $dl=r*dt$, quindi l'integrale diventa:

$int dt/sqrt(t^2+1)$

Questo è un integrale "noto" ed è:

$text{sett}sinh(t)+C$, che può anche essere riscritto nel seguente modo, ovvero:
$log(t+sqrt(t^2+1))$, quindi riportando alla variabile $l$:

$log(l/r+sqrt(l^2/r^2+1))+C$

[21zuclo]

$text{sett}sinh(x)=\ln(x+\sqrt{1+x^2})$

dai faccio la sua dimostrazione

da $\cosh^2(x)-\sinh^2(x)=1$

poniamo ${(x=\sinh(x)),(y=\cosh(x)):}\to y^2-x^2=1$

poi si ha che $x+y=e^x$ (ricordando che $\cosh(x)=(e^x+e^(-x))/(2)$ e $\sinh(x)=(e^x-e^(-x))/(2)$ )

quindi ${(y^2-x^2=1),(x+y=e^x):}\to {(y=\sqrt{1+x^2}),(x+\sqrt{1+x^2}=e^x):}$

quindi $x+\sqrt{1+x^2}=e^x\to x=\ln(x+\sqrt{1+x^2})$

[Nick_931]

Tutto chiaro! Vi ringrazio