Verifica dei limiti mediante la definizione
ciao a tutti!!!
sto incontrando difficoltà con questo argomento, ovvero verificare il limite mediante la definizione.
ad esempio:
$lim_(x->6)(x/3+2)=4$
per la definizione di limite ho che $|f(x)-l|<\epsilon$ quindi:
$|(x/3+2)-4|<\epsilon$
la disequazione equivale al sistema
$\{(x/3-2>\-epsilon), (x/3-2<\epsilon):}$
cioè
$\{(x>6-\3epsilon), (x>6+\3epsilon):}
ora fin qui ci sono ma dato questo risultato come faccio a dire che il limite è verificato?
Forse perchè $x>6-\3epsilon$ e $x>6+\3epsilon$ sono un intorno di 6?
grazie anticipatamente per eventuali risposte
sto incontrando difficoltà con questo argomento, ovvero verificare il limite mediante la definizione.
ad esempio:
$lim_(x->6)(x/3+2)=4$
per la definizione di limite ho che $|f(x)-l|<\epsilon$ quindi:
$|(x/3+2)-4|<\epsilon$
la disequazione equivale al sistema
$\{(x/3-2>\-epsilon), (x/3-2<\epsilon):}$
cioè
$\{(x>6-\3epsilon), (x>6+\3epsilon):}
ora fin qui ci sono ma dato questo risultato come faccio a dire che il limite è verificato?
Forse perchè $x>6-\3epsilon$ e $x>6+\3epsilon$ sono un intorno di 6?
grazie anticipatamente per eventuali risposte
Risposte
Hai sbagliato a ricopiare il risultato; è $ x<6+3 epsilon $ quindi $(6-3 epsilon, 6+3epsilon )$ è proprio un intorno di $6$ !
Cosa hai fatto ? Hai fissato un $epsilon > 0 $ qualunque(pur senza specificarlo numericamente) ; in corrispondenza di esso hai trovato un intorno di $6$ tale che per ogni valore di $x $ compreso in quell'intorno(escluso al più il punto$x=6$ ) la tua funzione, in modulo, differisce da $4$ di una quantità $< epsilon $.
Quindi $ 4 $ è ptoprio il limite cercato etc etc.
Cosa hai fatto ? Hai fissato un $epsilon > 0 $ qualunque(pur senza specificarlo numericamente) ; in corrispondenza di esso hai trovato un intorno di $6$ tale che per ogni valore di $x $ compreso in quell'intorno(escluso al più il punto$x=6$ ) la tua funzione, in modulo, differisce da $4$ di una quantità $< epsilon $.
Quindi $ 4 $ è ptoprio il limite cercato etc etc.
ciao e grazie!
si avevo sbagliato a copiare il risultato, ma ora mi chiedo non sarebbe più semplice e immediato andare a sostituire alla x il valore a cui tende e verificare l'uguaglianza?
quindi fare qualcosa del genere:
$lim_(x->6)(x/3+2)=4$
quindi verrebbe:
$(6/3+2)=4$
quindi abbiamo verificato che sostituendo alla x il valore a cui tende l'uguaglianza è verificata 4=4, non sarebbe più immediato?
anche perchè questo è un esempio semplice e sono riuscito a risolverlo senza troppe difficoltà ma se già prendo qualcosa di poco poco più complesso incontro qualche difficoltà, ad esempio:
$lim_(x->1)(x^2+1)=2$
se sostituisco il valore a cui tende la x senza problemi e velocemente verifico che $1^2+1$ è uguale a $2$ quindi il limite è verificato se invece devo andarlo a verificare tramite la definizione mi blocco infatti ho:
$|x^2+1-2|<\epsilon$ ora come devo procedere?
probabilmente incontro queste difficoltà perchè non mi è ancora molto chiaro il procedimento, però è da un po' che lo sto studiando... qualcuno mi può dare qualche dritta?
si avevo sbagliato a copiare il risultato, ma ora mi chiedo non sarebbe più semplice e immediato andare a sostituire alla x il valore a cui tende e verificare l'uguaglianza?
quindi fare qualcosa del genere:
$lim_(x->6)(x/3+2)=4$
quindi verrebbe:
$(6/3+2)=4$
quindi abbiamo verificato che sostituendo alla x il valore a cui tende l'uguaglianza è verificata 4=4, non sarebbe più immediato?
anche perchè questo è un esempio semplice e sono riuscito a risolverlo senza troppe difficoltà ma se già prendo qualcosa di poco poco più complesso incontro qualche difficoltà, ad esempio:
$lim_(x->1)(x^2+1)=2$
se sostituisco il valore a cui tende la x senza problemi e velocemente verifico che $1^2+1$ è uguale a $2$ quindi il limite è verificato se invece devo andarlo a verificare tramite la definizione mi blocco infatti ho:
$|x^2+1-2|<\epsilon$ ora come devo procedere?
probabilmente incontro queste difficoltà perchè non mi è ancora molto chiaro il procedimento, però è da un po' che lo sto studiando... qualcuno mi può dare qualche dritta?
Se tu sostituisci nell'espressione analitica della funzione il valore $x=6$ trovi semplicemente quanto vale la funzione in quel punto e vale $4$.
La funzione è continua in quel punto in quanto $lim_(x rarr 6)=f(6)= 4 $; il valore del limite e il valore che la funzione assume in quel punto sono uguali e questa è la definizione di funzione continua.
Il concetto di limite è più delicato.
Considera questa funzione $f(x) = x/3+2 $ per $x ne 6 $ e $f(x)= 10 $ per $x=6 $.
La funzione non è continua in $x=6 $ ; essa vale $10 $ per $x=6 $ ma il LIMITE per $x rarr 6 $ è sempre $4$ ; a dire più mi avvicino al valore $x=6 $ più la funzione si avvicina al valore $4 $ .Questo è il significato di limite.
Che valore poi la funzione assuma in $ x=6 $ è irrilevante per il concetto di limite .
Se vai a veder la definizione di limite troverai scritto ..... per ogni valore di $x $ appartenente all'intervallo $(x_0-delta, x_0+delta) $ (escluso al più il valore $x_0$ ) ....
Quel che succede in $x_0 $ non frega niente, non ha impatto sul valore del limite.
Se poi i due valori coincidono , valore del limite e valore della funzione nel punto allora la funzione è continua in quel punto.
Nel caso di $lim_(x rarr 1)(x^2+1)=2$ procedi come hai scritto ottenendo $|x^2+1-2|< epsilon $, dacui $|x^2-1|< epsilon $ che equivale a
$ 1-epsilon< x^2<1+epsilon$ .
Hai dunque da risolvere il sistema di due disequazioni
$x^2 > 1-epsilon$
$x^2< 1+epsilon $
Troverai un intorno di $1$ .
La funzione è continua in quel punto in quanto $lim_(x rarr 6)=f(6)= 4 $; il valore del limite e il valore che la funzione assume in quel punto sono uguali e questa è la definizione di funzione continua.
Il concetto di limite è più delicato.
Considera questa funzione $f(x) = x/3+2 $ per $x ne 6 $ e $f(x)= 10 $ per $x=6 $.
La funzione non è continua in $x=6 $ ; essa vale $10 $ per $x=6 $ ma il LIMITE per $x rarr 6 $ è sempre $4$ ; a dire più mi avvicino al valore $x=6 $ più la funzione si avvicina al valore $4 $ .Questo è il significato di limite.
Che valore poi la funzione assuma in $ x=6 $ è irrilevante per il concetto di limite .
Se vai a veder la definizione di limite troverai scritto ..... per ogni valore di $x $ appartenente all'intervallo $(x_0-delta, x_0+delta) $ (escluso al più il valore $x_0$ ) ....
Quel che succede in $x_0 $ non frega niente, non ha impatto sul valore del limite.
Se poi i due valori coincidono , valore del limite e valore della funzione nel punto allora la funzione è continua in quel punto.
Nel caso di $lim_(x rarr 1)(x^2+1)=2$ procedi come hai scritto ottenendo $|x^2+1-2|< epsilon $, dacui $|x^2-1|< epsilon $ che equivale a
$ 1-epsilon< x^2<1+epsilon$ .
Hai dunque da risolvere il sistema di due disequazioni
$x^2 > 1-epsilon$
$x^2< 1+epsilon $
Troverai un intorno di $1$ .
ok grazie sei stato gentilissimo...
quindi in definitiva se calcolo il limite e poi calcolo quanto vale la funzione in quel punto, e vedo che i valori coincidono, trovo semplicemente che la funzione in quel punto è continua, diversamente se i valori fossero stati diversi l'uno dall'altro avrei trovato che la funzione è discontinua... ho capito bene?
quindi in definitiva se calcolo il limite e poi calcolo quanto vale la funzione in quel punto, e vedo che i valori coincidono, trovo semplicemente che la funzione in quel punto è continua, diversamente se i valori fossero stati diversi l'uno dall'altro avrei trovato che la funzione è discontinua... ho capito bene?
Sì .
Importante che tu ti impadronisca bene del concetto di limite, del suo significato.
Importante che tu ti impadronisca bene del concetto di limite, del suo significato.
Grazie mille camillo!!!
Sto studiando, devo dire che è abbastanza ostico come argomento, ma ce la farò...
grazie di nuovo.
Sto studiando, devo dire che è abbastanza ostico come argomento, ma ce la farò...
grazie di nuovo.
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