Verifica dei limiti con la definizione

[bmabs]

Più che di un esercizio in sé vorrei capire una cosa riguardo la logica che sottende la verifica del limite tramite la definizione con epsilon e delta vari.

Per la definizione di limite

$AA epsilon > 0, EE delta_epsilon >0 t.c. \ AA x in X, 0 < |x - x_0| < delta => |f(x) - l| < epsilon$

tutto bene, ora mi aspetto di dover sfruttare questo e di solito infatti si parte dalla condizione di aver scelto un epsilon a caso

Imposto la $|f(x)-l|<\epsilon$

e dimostro con vari passaggio che $|x-x_0|
Quello che onn mi convince però è che io parto da: $|f(x)-l|<\epsilon$ però io parto dalla implicazione, cioè quello è il risultato che SE esiste delta allora vale quella disuguaglianza con valore assoluto con il valore del limite. A me sembra che verifico questo fatto:

Se e esiste epsilon che verifica questo: $|f(x)-l|<\epsilon$ ALLORA esiste il delta. Ma non è mica vero che se A=>B per essere vera non devo verificare B (nel nostro caso $|f(x)-l|<\epsilon$) => A (nel nostro caso A è: che esiste delta)

Non so se sono riuscito a spiegarmi molto nel caso provo a riscrivere con altre parole.

[gugo82]

Il vero problema è che non hai capito “operativamente” cosa significa la definizione di limite.
Quindi, cerca di raccontarmi cosa significa $ AA 0 epsilon > 0, EE delta_epsilon >0 t.c. \ AA x in X, 0 < |x - x_0| < delta => |f(x) - l| < epsilon $.

[bmabs]

Proverò a rispondere ad entrambi, ringraziandovi, in principio, per essere intervenuti.

Operativamente pensavo che la definizione volesse dire: prendo un epsilon di qualunque tipo nei reali (che sarà il mio vincolo per un intorno dell'immagine della funzione) e ti mostro che posso trovare sempre un delta che ne dipenda (vincolo sulle ascisse come intorno), poi quando vado a prendere una x (qualunque) in questo intorno che non sia pari a x0 ti mostro che questo IMPLICA il trovare un "raggio" minore del raggio dell'intono che era epsilon.

Il fatto che quell'ultima disuguaglianza con valore assoluto è implicata da tutto il resto. Per prendere un epsilon qualunque io mostro che \(\lvert\cos x-1\rvert Fatto questo procedo trovandomi un delta, ok perfetto qui ci sono (e lo trovo)!
Ora non mi viene da stupirmi che la definizione funzioni, beh grazie mi son preso UN epsilon giàbello preparato per cui funziona l'implicazione.



Edito:

ok credo che il punto fondamentalesia il NB di sergio, in effetti x^2/2 è ancora ogni numero reale (epsilon, cioè per ogni).

Capito il dubbio (ovvero che quell'epsilon di sergio è comunque generico -devo farici davvero l'abitudine perché fatico un po' a vederlo, ammetto-)

Sarebbe formalmente corretto anche procedere così? Non so perchéma operativamente mi aiuta impostarmi già prima il vincolo epsilon:

$|cosx-1|=|1-cosx|
da cui: $x^2/2<\epsilon=>|x|<\sqrt(2\epsilon)$

è proprio l'intorno sulle ascisse che cercavo! !uindi: ho mostrato che qualunque sia preso epsilon il delta è proprio quella radice quadrata.

Insomma anziché porre $\epsilon=x^2/2$ vado a minorare $x^2/2$ con epsilon scoprendo che ho trovato proprio il delta che verifica la definizione di limite. E' simile ma un po' diverso da quello di sergio.
Il punto è che partendo da $|cosx-1|<\epsilon$, come faccio io qui sopra, mi sembra di prendere solo alcuni epsilon e non tutti (in particolare prendo gli epsilon che fanno valere quella disuguaglianza). Eppure giungo allo stesso risultato di sergio. Arcano mistero che devo capire , chissà cosa mi sfugge

[bmabs]

Certo, in effetti il tuo procedimento mi è chiaro, tuttavia io avevo minorato con epsilon non tanto per mero volo pindarico personal,ma perché l'esercitatore svolge sempre gli esercizi in questo modo.

Faccio un esempio:

$lim(x->0) x^3-1=-1$

Ebbene pone proprio: $|x^3-1+1|<\epsilon$ e da questi fa discendere il delta ecc. Convieni con me che in tal modo in realtàscegli un epsilon "comodo",cioè tale che funzioni quella disuguaglianza:mi sembra un po' diverso dal tuo metodo che mi sembra più corretto formalmente parlando.Eppure come mostratoprima giungo allo stesso risultato tuo.

[bmabs]

"Sergio":
Questo non è "minorare", questo è cercare un \(\epsilon\) coerente con la definizione.

Il fatto è che a me sembra di trovare un epsilon coerente con l'implicazione non con la definizione, mi spiego meglio: Per ogni epsilon che verifica la $|f(x)-l|\<\epsilon$ io riesco in effetti a trovare un delta. Nel tuo esempio specifico in effetti ho trovato $\epsilon=x^2/2$ che rappresenta OGNI reale (ma è un caso specifico, perché in realtà l'epsilon che trovo sia sempre un qualsiasi reale non riesco a vederlo da quella $|f(x)-l|\<\epsilon$).
Tuttavia impostando la $[...]=>|f(x)-l|\<\epsilon$ a me sembra di trovare ogni epsilon per cui vale l'implicazione ma non ogni epsilon nei reali.

Deve essere qualcoa di così semplice che non riesco nemmeno a far capire il problema. Ci ragiono ancora un po' su rileggendo le risposte che mi hai dato e di cui ti ringrazio molto:)

[gugo82]

"bmabs":Operativamente pensavo che la definizione volesse dire: prendo un $epsilon$ di qualunque tipo nei reali (che sarà il mio vincolo per un intorno dell'immagine della funzione) e ti mostro che posso trovare sempre un $delta$ che ne dipenda (vincolo sulle ascisse come intorno), poi quando vado a prendere una $x$ (qualunque) in questo intorno che non sia pari a $x_0$ ti mostro che questo IMPLICA il trovare un "raggio" minore del raggio dell'intono che era $epsilon$.

Sì, vabbè, queste sono chiacchiere… Ma che vuol dire la frase $ AA epsilon > 0, EE delta_epsilon >0 : \ AA x in X, 0 < |x - x_0| < delta => |f(x) - l| < epsilon $?
"Concretamente" parlando, che devi fare?

[bmabs]

Scusa, avevo capito spiegarlo in modo intuitivo.

Beh direi che devo trovare una funzione epsilon di x, da questa farne discendere una funzione delta (di epsilon).
Poiché delta è funzione di x, facendo variare la x nel dominio (sottoinsieme dei reali) vedo se verifica e sta nell'intorno, e SE ci sta, deve stare anche nell'intorno di raggio epsilon.

[gugo82]

No.

Più basic… Perché vai a risolvere la disequazione $|f(x) - l| < epsilon$?
E quando, risolvendola, ti trovi che $l$ è effettivamente il limite di $f$ per $x -> x_0$?

[bmabs]

Forse siamo giunti al punto che non so rispondere

[gugo82]

Appunto… Perché non riesci ad interpretare il linguaggio.

La frase:

$ AA epsilon > 0, EE delta_epsilon >0 : \ AA x in X, 0 < |x - x_0| < delta => |f(x) - l| < epsilon $

ti sta dicendo che per avere $lim_(x -> x_0) f(x) = l$ deve accadere la seguente cosa:

per ogni fissato $epsilon>0$, nell’insieme $S$ delle soluzioni della disequazione $|f(x) - l| < epsilon$ deve essere possibile isolare almeno un intorno forato di $x_0$; in altre parole, un insieme del tipo $]x_0 - delta , x_0 + delta[ \setminus \{x_0\}$ deve essere contenuto in $S$.

P.S.: A questo punto mi viene di porre una domanda ancora più basic: che vuol dire risolvere una disequazione?

[bmabs]

Parto dalla risposta alla domanda: beh direi che vuol dire trovare l'insieme di valori che rende vera la disuguaglianza.

Credo il punto sia proprio quello che dici tu, ovvero interpretare il linguaggio e in particolare il simbolo "implicazione". La mia idea malata era fissare un epsilon, e da questo epsilon trovare un delta che mi faceva trovare delle x (tramite la disequazione) di intorno sulle ascisse. Trovata questa x mi implicava (come condizione subordinata) che valesse la condizione sull'intorno delle ordinate.
In altre parole prima trovare l'intorno forato e da questo dedurne "implicare" che valga |f(x)-l|.., perché tutte quelle condizioni le leggo prima dell'implicazione

Il punto è che invece devo impostare la disequazione sull'intorno $|f(x)-l|<\epsilon(x)$, scegliere un "per ogni epsilon valore fisso" (non più funzione di x ma un valore qualsiasi reale) che stia nelle soluzioni della disequazione ossia verificare che viene raggiunto dalla funzione $\epsilon(x)$ sostituendo una x che renda vera la condizione sull'intorno $|x-x_0|<\delta$.
Proprio non capisco come dedurlo da quel linguaggio (perché l'implicazione mi sembrava un punto di arrivo e non di partenza nella catena logica, cioè io pensavo di dover arrivare a poter risolvere la disequazione impostate le altre condizioni a priori), ora che me l'hai scritto posso accettarlo come tale, però non riesco a togliermi dalla mente che vista così mi sembri equivalente a: Se vale $|f(x)-l|<\epsilon(x)=>$ trovo nelle soluzioni una x che rispetti $0<|x-x_0|<\delta$ equesto per ogni valore epsilon fissato, cioè una implicazione al contrario. Non capisco come arrivare alla tua interpretazione e la cosa mi affligge proprio tanto

[gugo82]

Sbagli ad interpretare le implicazioni.

Risolvere esplicitamente $|f(x) - l| < epsilon$ significa determinare un insieme $S_(l, epsilon)!= emptyset$ tale che $|f(x) - l| < epsilon <=> x in text(Dom)(f) nn S_(l,epsilon)$.
Ne viene che, per ogni sottoinsieme $X sube text(Dom)(f) nn S_(l,epsilon)$ non vuoto, vale l’implicazione $x in X => |f(x) - l| < epsilon $ (ma, in generale, non vale il v.v.).
Conseguentemente, se in $S_(l,epsilon)$ riesci ad isolare un opportuno intorno forato $I_(x_0, delta)^’ := ]x_0-delta , x_0+ delta[\setminus \{x_0\}$ di $x_0$, hai certamente $x in text(Dom)(f) nn I_(x_0,delta)^’ => |f(x) - l| |f(x) - l| < epsilon$.

Dunque, nei casi elementari, per vedere se un certo $l$ soddisfa la definizione di limite si risolve la disequazione parametrica $|f(x) - l| < epsilon$ (almeno per valori “piccoli” del parametro) e si cerca di isolare un intorno forato di $x_0$ nell’insieme delle soluzioni.

[bmabs]

Vorrei ringraziarvi TANTO perle vostre risposte perché mi stanno accrescendo molto. Sono inoltreconteto che abbia anche sviluppato un discorso tra due persone che ne sanno molto più di me in materia e leggere eventuali risposte saràper me un paicere. Nell'attesa volevo rispondere un attimo @gugo:

"gugo82":
Risolvere esplicitamente $|f(x) - l| < epsilon$ significa determinare un insieme $S_(l, epsilon)!= emptyset$ tale che $|f(x) - l| < epsilon <=> x in text(Dom)(f) nn S_(l,epsilon)$.

La mia paura era che risolvendo quella disequazione potessi trovare un $S_(l,epsilon)$ più piccolo dell'insieme delle x dominio di f. Cioè che potessero esistere delle x del dominio che non stavano in $S_(l,epsilon)$.
In tal caso non avrei $<=>$, ma perché questa evenienza è esclusa?
---
Che stupido: dovrebbe essere perché parto da $|f(x) - l|$ e quindi automaticamente per ipotesi e dare senso al tutto f(x) è presanel suo dominio.

[Mathita]

Odio intervenire in discussioni troppo affollate perché si rischia di confondere l'OP, però mi preme chiedere un chiarimento a Sergio. Invito bambs a non leggere i miei vaneggiamenti perché rischierebbe di confondersi le idee. Metto tutto in ot.

[ot]

"Sergio":... Devi semplicemente trovare un \(\delta\) che valga per qualsiasi \(\epsilon>0\) ...

Il $\delta$ non è unico, ma dipende da $\epsilon$ e da $x_0$, per cui al variare di $x_0$ e di $\epsilon$, il $\delta$ può variare.

"Sergio":... Quindi \(1-\cos x Quindi \(\delta=\sqrt{2\epsilon}\).
Tutto qui.

Se $\epsilon=\frac{x^2}{2}$, la relazione $|x|<\sqrt{2\epsilon}$ diventa $|x|<|x|$ che è falsa indipendentemente dal valore di $x$.

Cosa mi sto perdendo? Chiedo scusa per eventuali cialtronate: oggi è stata una durissima giornata di lavoro. [/ot]

[Mathita]

[ot]Sergio, purtroppo continuo a non capire il tuo procedimento: il passo in cui imponi che epsilon sia una funzione di x non mi pare lecito. :s. Per quanto concerne la disequazione, io la interpreto in questo modo: se $f(x)
Che fatica scrivere da smartphone.[/ot]

[Mathita]

Sono ancora da smartphone, perdonate la pessima formattazione. Continuo la ormai tradizionale messa in ot.

[ot]Considero la disuguaglianza notevole

$|\sin(x)|\leq |x| \ \ \ \forall x\in\mathbb{R}$

e la userò per dimostrare che per ogni $epsilon>0$, esiste un numero reale positivo $delta$ tale che se $x$ realizza la doppia disuguaglianza $0<|x|
Dalla disuguaglianza notevole segue che se $|x|

So di non essere stato chiarissimo, ma scrivere le formule da mobile è un vero tormento.[/ot]

[bmabs]

Sì certo tranquilli, continuate pure e non mi confondete. Non leggerò le vostre repliche come consigliate , non è assolutamente un problema per quanto mi riguarda!

Vi sconsiglio di usare troppo off topic perché poi ho visto che spesso le discussioni vengono bloccate. Fate pure alla luce del sole. Lamia ultima risposta l'ho scritta qui:

"bmabs":Vorrei ringraziarvi TANTO perle vostre risposte perché mi stanno accrescendo molto. Sono inoltreconteto che abbia anche sviluppato un discorso tra due persone che ne sanno molto più di me in materia e leggere eventuali risposte saràper me un paicere. Nell'attesa volevo rispondere un attimo @gugo:

[quote="gugo82"]
Risolvere esplicitamente $|f(x) - l| < epsilon$ significa determinare un insieme $S_(l, epsilon)!= emptyset$ tale che $|f(x) - l| < epsilon <=> x in text(Dom)(f) nn S_(l,epsilon)$.

La mia paura era che risolvendo quella disequazione potessi trovare un $S_(l,epsilon)$ più piccolo dell'insieme delle x dominio di f. Cioè che potessero esistere delle x del dominio che non stavano in $S_(l,epsilon)$.
In tal caso non avrei $<=>$, ma perché questa evenienza è esclusa?
---
Che stupido: dovrebbe essere perché parto da $|f(x) - l|$ e quindi automaticamente per ipotesi e dare senso al tutto f(x) è presanel suo dominio.[/quote]

Nel caso abbia detto castronerie o altro fatemi sapere, per il resto ci si risente in altri topic di certo . O ameno che on mi diciate possa essere utile leggere.

Buona giornata.

[gugo82]

"Sergio":gugo, perdonami ma non ho mai visto niente di più complicato, e mi viene la tentazione di dire che non ho mai visto niente di più inutilmente complicato (fatta eccezione per un paio di dimostrazioni di Takayama). Sicuramente questo dipende dal fatto che di matematica ne ho vista moooooolto meno di te, e l'evento "mi sfugge qualcosa di sostanziale" è quasi-certo. Però fammi provare.

Non è complicato, bisogna solo rifletterci su.

"Sergio":[quote="gugo82"]Risolvere esplicitamente $|f(x) - l| < epsilon$ significa determinare un insieme $S_(l, epsilon)!= emptyset$ tale che $|f(x) - l| < epsilon <=> x in text(Dom)(f) nn S_(l,epsilon)$.

Ok, $S_(l, epsilon)$ non è vuoto, ma per il resto "dove abita"?
Può essere $S_(l, epsilon) \setminus text(Dom)(f)\ne emptyset$? Mi pare difficile: a che pro avventurarsi fuori di $text(Dom)(f)$?
Ma allora $x in text(Dom)(f) nn S_(l,epsilon)$ non è altro che $x in S_(l,epsilon)$ e ovviamente $S_(l,epsilon) sube text(Dom)(f)$.[/quote]
Formalmente, sono d’accordo con te.

Tuttavia, ricorderai che i calcoli si fanno (a volte) tagliando le cose con l’accetta e “dimenticandosi” del dominio delle funzioni coinvolte, determinando così delle soluzioni probabili (quelle che ho indicato con $S_(l,epsilon)$) per la disequazione; le soluzioni effettive si determinano “a posteriori”, andando a scremare quelle accettabili (i.e., appartenenti a $text(Dom) (f)$) tra le soluzioni probabili.
Così è da leggere la condizione $x in text(Dom)(f) nn S_(l,epsilon)$.

"Sergio":[quote="gugo82"]Ne viene che, per ogni sottoinsieme $X sube text(Dom)(f) nn S_(l,epsilon)$ non vuoto, vale l’implicazione $x in X => |f(x) - l| < epsilon $ (ma, in generale, non vale il v.v.).

Ok. Ma se intendi $x in X$ per ogni $X sube S_(l,epsilon)$, questo vuol dire: per ogni $x\in S_(l,epsilon)$ esiste un $epsilon$ tale che $|f(x) - l| < epsilon$.[/quote]
No, intendo proprio quel che ho scritto.

Il valore del parametro $epsilon$, nel momento in cui si fanno i conti, è da considerarsi fissato.

"Sergio":Ma cosa è $S_(l,epsilon)$? È un insieme tale che $|f(x) - l| < epsilon$ se e solo se $x\in S_(l,epsilon)$.
Se prescindiamo dai sottoinsiemi propri di $S_(l,epsilon)$ (a che servono? poi non li usi più) si rischia la tautologia. Voglio dire che non vedo l'utilità di quei sottoinsiemi propri, non vedo cosa aggiunga quel "ne viene che".

Risolvere elementarmente la disequazione $|f(x) - l| < epsilon$ significa usare un po’ di algebra per determinare esplicitamente un(a proprietà caratteristica dell’)insieme delle soluzioni, i.e. individuare tutti e soli i valori della incognita $x$ per i quali è vera la disuguaglianza $|f(x) - l| < epsilon$. Il “tutti e soli” vuol dire che l’insieme delle soluzioni che vai a determinare è quello “più grande possibile”, quello massimale: infatti, se $x$ appartiene all’insieme calcolato allora soddisfa $|f(x) - l| < epsilon$ e, viceversa, se $x$ soddisfa $|f(x) - l| < epsilon$ allora appartiene all’insieme che hai calcolato.

Quando prendi un sottoinsieme $X sube text(Dom)(f) nn S_(l,epsilon)$, hai certamente $x in X => |f(x) - l| < epsilon$ perché $X$ è un sottoinsieme dell’insieme delle soluzioni della disequazione e, tuttavia, non vale l’implicazione inversa poiché nessuno (in linea di principio) ti assicura che ogni soluzione di $|f(x) - l| < epsilon$ cada in $X$.

"Sergio":Veniamo piuttosto al concreto: cos'è mai questo $S_(l,epsilon)$?
È un sottoinsieme del dominio (voglio ben sperare!), proviamo a dargli un "faccia". Direi: $S_(l,epsilon)=\{x:x in text(Dom)(f),|f(x) - l| < epsilon,epsilon>0\}$.
Questo vuol dire, in concreto, che si tratta di trovare i valori di $x$ per cui $|f(x) - l| < epsilon$ per un qualsiasi $epsilon$ strettamente positivo.

Già… Ma, come ricordato più sopra, in parecchi casi concreti i conti si fanno non considerando il dominio e ripescandolo solo dopo.

"Sergio":Tornando all'esempio: dato che $|cos x-1|0$, ponendo $epsilon=x^2/2$ ottieni $|x|=sqrt(2 epsilon)$.
Quindi, nel caso dell'esempio, $S_(l,epsilon)=\{x:x in text(Dom)(f),|x|=sqrt(2 epsilon)\}$. Infatti: $|cos sqrt(2 epsilon) -1| Sembrava un oggetto così misterioso...

Questo non è un esempio della situazione che sto descrivendo.
Infatti, la disequazione da risolvere è $|cos x - 1| < epsilon$ e tu non lo fai, non la risolvi esplicitamente… Anzi, usi un “trucco” (la maggiorazione) che ti consente proprio di non fare il conto esplicito e ti semplifica il problema, perché “magicamente” ti fa trovare subito l’intorno di $0$ che ti serve.

Ma, invece, risolviamola ‘sta disequazione… In altri termini, proviamo con l’uso “duro e puro” della definizione che $lim_(x -> 0) cos x = 1$.
Evidentemente, il dominio della nostra funzione è $RR$, quindi non dobbiamo imporre restrizioni di sorta.
Abbiamo:

$| cos x - 1| < epsilon <=> 1 - epsilon < cos x < 1 + epsilon <=> \{ (cos x < 1 + epsilon), (cos x > 1 - epsilon) :}$

ed, evidentemente, la prima disequazione è verificata ovunque, perciò risulta:

$| cos x - 1| < epsilon <=> cos x > 1 - epsilon$.

Ora, se $ epsilon > 2$ la disequazione $cos x > 1 - epsilon$ è sempre verificata.
Per $epsilon = 2$ la disequazione diviene $cos x > -1$ che è soddisfatta per $x != (2k+1) pi$ (con $k in ZZ$).
dunque $S_(1,2) = RR \setminus \{ (2k+1) pi, k in ZZ\} = cup_(k in ZZ) ](2k-1) pi, (2k+1) pi[$.
Per $0< epsilon < 2$ le cose si fanno più interessanti, giacché la disequazione $cos x > 1 - epsilon $ è soddisfatta da tutti gli $x$ che soddisfano limitazioni del tipo $-arccos (1-epsilon) + 2k pi < x < arccos(1-epsilon) + 2k pi$ (con $k in ZZ)$.
Dunque abbiamo stabilito che:
\[
S_{1,\varepsilon} = \begin{cases} \mathbb{R} &\text{, se } \varepsilon > 2\\ \bigcup_{k \in \mathbb{Z}} ](2k-1) \pi, (2k+1) \pi[ &\text{, se } \varepsilon =2\\ \bigcup_{k \in \mathbb{Z}} ] - \arccos (1- \varepsilon) + 2k \pi, \arccos (1 - \varepsilon) + 2k \pi[ &\text{, se } 0 < \varepsilon <2 \end{cases}
\]
e, visto che il dominio del coseno non impone restrizioni, possiamo ben dire che $|cos x -1| < epsilon <=> x in S_(1,epsilon)$.
Da com’è definito $S_{1,\varepsilon}$ si capisce che, per ogni $epsilon > 0$, si può isolare in $S_(1,epsilon)$ un opportuno intorno forato $I_(0,delta)^’$ di $0$: per fare ciò basta scegliere come semiampiezza $delta=delta_(0,epsilon)$ la quantità:

$delta := \{ (pi, text(, se ) epsilon >= 2), (arccos(1 - epsilon), text(, se ) 0
(ma, ovviamente, nulla vieta di scegliere un $delta$ diverso dal precedente[nota]Nei casi “interessanti”, diverso vuol dire minore. Il che è proprio quello che si verifica nel caso in esame: infatti, si vede che per $0
Poiché un tale intorno forato $I_(0,delta)^’$ è contenuto in $S_(1,epsilon)$ è evidente che $x in I_(0,delta) => |cos x - 1| < epsilon$, ossia che $0<|x| |cos x - 1|

"Sergio":[quote="gugo82"]Conseguentemente, se in $S_(l,epsilon)$ riesci ad isolare un opportuno intorno forato $I_(x_0, delta)^’ := ]x_0-delta , x_0+ delta[\setminus \{x_0\}$ di $x_0$, hai certamente $x in text(Dom)(f) nn I_(x_0,delta)^’ => |f(x) - l| |f(x) - l| < epsilon$.

Mamma mia! Provo a tradurre.
Mi interessano i casi in cui $x$ tende (si avvicina) a $x_0$, mi interessa cioè un intorno di $x_0$. Non mi interessa quello che succede in $x_0$ (in cui $f$ potrebbe non essere definita, o presentare una discontinuità, e mi sembrerebbe utile precisarlo), quindi mi interessa un intorno forato di $x_0$, cioè un intervallo $(x_0-delta,x_0+delta)\setminus x_0$. Bene.[/quote]
Yessir.

"Sergio":"Se riesci a isolare un opportuno interno forato ... hai certamente...". E che vuol dire "opportuno"?
Opportuno vuol dire: un $x in S_(l,epsilon)$ tale che $|x-x_0|
No.
“Opportuno” vuol dire “un $delta >0$ scelto in modo che $I_(0,delta) sube S_(l,epsilon)$” o, se vuoi, “un $delta >0$ scelto in modo che $0<|x - l| < delta => x in S_(l,epsilon)$.

"Sergio":Piccola aggiunta: deve trattarsi di un $delta$ dipendente da $epsilon$, in quanto anche $S_(l,epsilon)$ dipende da $epsilon$.

No, questo in generale non è vero.

Prendi $f(x) = l$ e dimostra che $lim_(x -> x_0) f(x) = l$: troverai che puoi prendere sempre $delta_(x_0,epsilon) = 1$ (o $=1237$, ovvero $=pi/sqrt(2e)$) indipendentemente dalla scelta di $epsilon$.

"Sergio":[quote="gugo82"]Dunque, nei casi elementari, per vedere se un certo $l$ soddisfa la definizione di limite si risolve la disequazione parametrica $|f(x) - l| < epsilon$ (almeno per valori “piccoli” del parametro) e si cerca di isolare un intorno forato di $x_0$ nell’insieme delle soluzioni.

E così la faccenda di $S_(l,epsilon)$ si riduce a "risolvere la disequazione"[/quote]
Beh, questo l’avevo scritto all’inizio.

"Sergio":(ma quali sono i casi in cui, per funzioni $f:X sube RR to RR$, la faccenda non si riduce a risolvere una disequazione?).
Può non essere così elementare (non è proprio immediato che $|cos x-1| Cosa vuol dire "risolvere una disequazione"? In alcuni casi è semplice (link), in altri un po' meno (ad es. link). Pazienza.

Anche questo, l’avevo scritto (mi riferivo al caso delle disequazioni elementari)… Nei casi più complicati si può ragionare in maniera diversa, cercando di evitare contazzi espliciti.

"Sergio":Una volta trovate le soluzioni, si cerca "di isolare un intorno forato". Cioè?
Si cercano valori delle soluzioni che appartengano a un intorno (forato) di $x_0$. Si cercano cioè soluzioni $x$ tali che $0<|x-x_0|
Sai meglio di me che non è necessario conoscere il gergo per far funzionare qualcosa: la lavatrice la so far funzionare anche se non conosco il termine tecnico per indicare il cestello (e lo chiamo, ad esempio, “cippiciappi”).

"Sergio":Qui c'è poco da fare, si deve andare caso per caso.
Nel caso dell'esempio, per valori "piccoli" di $|x-x_0|$ (per $x_0=0$ e $x in [-pi,pi]$), si ha che $|cos x-1|$ aumenta e diminuisce con $x$, quindi basta prendere $|x-x_0|=|x|
Insomma, in tanti anni è la prima volta che ti vedo... a cavallo di una tangente. Dove sbaglio?

Da nessuna parte, dovevi solo realizzare meglio ciò che ho scritto.
Spero che l’esempio svolto sopra sia d’aiuto…

Ed a proposito: come si modifica l’esempio se scelgo di lavorare con la funzione $cos x$, ma ristretta solo a $QQ$?
(Cioè, come faccio, con la definizione, a provare che $lim_(x ->0) cos x =1$ considerando $text(Dom)(cos) = QQ$?)